21、完全k部图上的快速搜索

完全k部图上的快速搜索

1. 基本概念

1.1 欧拉图相关概念

欧拉图是图论中的重要概念。一个欧拉回路是一条从同一顶点开始并结束的欧拉迹。如果一个图包含遍历其所有边的欧拉回路，那么这个图就被称为欧拉图。这里我们只考虑无环和无多重边的有限图，并且假设欧拉回路或欧拉子图至少包含三条边。

1.2 快速搜索模型

在快速搜索模型中，初始时图的每个顶点和每条边都被视为被污染的。如果一个顶点的所有关联边都被清除，那么称该顶点被清除；如果一个顶点既有被污染的关联边又有已清除的关联边，那么称该顶点部分被清除。快速搜索策略的步骤如下：
1. 在图的一些顶点上放置一定数量的搜索者。
2. 沿着被污染的边执行滑动操作，直到图的所有边都被清除或者无法再进行滑动操作。
3. 当满足以下两个条件之一时，顶点 $u$ 上的搜索者可以沿着边 $e = uv$ 滑动：
- 顶点 $u$ 上还有一个额外的搜索者。
- 边 $e$ 是顶点 $u$ 上唯一的被污染的边。
4. 搜索者沿着边 $e$ 滑动后，会停留在顶点 $v$ 上，并且边 $e$ 被清除。

1.3 快速搜索数的已知下界

以下是关于快速搜索数的两个已知下界引理：
- 引理 1 ：对于任何连通图 $G$，$fs(G) \geq \frac{1}{2}|V_{odd}(G)|$。
- 引理 2 ：对于任何没有叶子节点的连通图 $G$，$fs(G) \geq \frac{1}{2}|V_{odd}(G)| + 2$。