20、1 - 多消息的时间最优广播与完全 k 部图的快速搜索

1 - 多消息的时间最优广播与完全 k 部图的快速搜索

在当今的计算机科学、数学和物理学领域，图论相关的研究一直是热点。本文将围绕两方面展开：一是 1 - 入端口模型下多消息的时间最优广播，二是完全 k 部图中对逃逸者的快速搜索。

1.1 多消息的时间最优广播

在通信模型中，同时从同一源节点广播多个消息是一个重要的研究方向。这里引入了水平不相交划分的概念来描述这一过程。

1.1.1 相关定理

定理 4 指出：设 $v$ 是图 $G$ 中度数 $k \geq 1$ 且能被整数 $l \geq 1$ 整除的顶点。如果 $G$ 有一个以 $v$ 为中心的 $k$ - 轮图，那么 $G$ 有 $l$ 个以 $v$ 为根的完美水平不相交划分。如果 $G$ 是二分图，$k \geq 3$ 且 $G$ 有一个以 $v$ 为中心的 $k$ - 双轮图，那么 $G$ 有 $l$ 个以 $v$ 为根的双完美水平不相交划分。

1.1.2 特定网络中的应用

• 二维环面 $C_{2n} \square C_{2m}$

  • 该二分二维环面图在任意顶点 $r$ 处有一个 4 - 双轮图。根据定理 3，它有四个以 $r$ 为根的水平不相交划分，其高度为 $ecc_{C_{2n}\square C_{2m}}(r) + 6 = n + m + 6$。
  • 具体地，设 $C_{2n} = (u_1, \ldots, u_{2n})$，$C_{2m} = (v_1, \ldots, v_{2m})$，且 $r = (u_1, v_1