22、完全多部图与社交网络核心 - 边缘问题中的快速搜索研究

完全多部图与社交网络核心 - 边缘问题中的快速搜索研究

完全二部图的快速搜索

在完全二部图 (K_{m,n}) 的快速搜索问题中，我们关注不同情况下的快速搜索数 (fs(K_{m,n}))。

1. (m) 和 (n) 均为奇数

• 引理 8 ：对于 (3 \leq m \leq n) 且 (m) 和 (n) 均为奇数的完全二部图 (K_{m,n})，若 (w_1 \in V_2)，则 (fs(K_{m,n}) \geq m + \frac{n + 1}{2})。
  • 当 (m = 3) 时，由引理 2 可得 (fs(K_{m,n}) \geq \frac{m + n}{2} + 2 = \frac{n + 1}{2} + 3 = m + \frac{n + 1}{2})。
  • 当 (5 \leq m \leq n) 时，分两种情况讨论：
    • 情况 1：(a_1 = \frac{n - 1}{2})
      • 若 (w_1) 在时刻 (t_1) 有搜索者，那么 (fs(K_{m,n}) \geq |V_1| + |A_1| + 1 = m + a_1 + 1 = m + \frac{n + 1}{2})。
      • 若 (w_1) 在时刻 (t_1) 无搜索者，假设 (m + \frac{n - 1}{2}) 个搜索者能清理 (K_{m,n})。在时刻 (t_1)，(V_1 \cup A_1) 中的每个顶点恰好有一个搜索者，其他顶点无搜索者。由