3、平面图形上警察抓小偷游戏与混合疏散问题研究

平面图形上警察抓小偷游戏与混合疏散问题研究

1. 平面图形上警察抓小偷游戏

在平面图形的警察抓小偷游戏中，有着独特的策略和规则。

首先，我们会在游戏里找到特定的顶点。具体来说，要找到两个顶点 (x \in N(R_i) \cap P_2^i) 和 (y \in B(R_i) \cap P_1^i)，这里的 (x) 和 (y) 分别是 (P_2^i) 和 (P_1^i) 上沿着路径离 (e) 和 (f) 最近的顶点。需要注意的是，(x) 要从 (N(R_i)) 中选取，而不是 (B(R_i))，这是为了让 (x) 在 (R_i) 中有邻居。当 (e \in N(R_i)) 时，(x) 可能等于 (e)；当 (f \in B(R_i)) 时，(y) 可能等于 (f)。之后，在 (G[V(R_i) + x + y]) 中找到最短路径 (P = \pi(x, y))，并派自由警察 (c_3) 去守护 (P)。此时，(R_{i + 1}) 就是 (G[V(R_i - P)]) 中包含 (r) 的那个组件。

1.1 策略的正确性与完整性

• 定理 1 ：整个抓捕策略符合命题 1。在情况 (a) 和初始阶段，会引入两条新路径，它们都从同一个顶点开始，所以下一阶段至少有一个警察是自由的。在情况 (b) 中，新的守护路径 (P) 和 (Q) 可能会把 (R_i) 分成三个组件，每个组件都可能是 (R_{i + 1}) 的候选，下一阶段会有两个警察守护，同样至少有一个警察是自由的。在情况 (c) 里，不管哪个组件成为 (R_{i + 1})，(P_1^i) 或 (P_2^i) 中总有一个会过时，其对应的警察在下一阶段就会自由。