11、多值逻辑的表推演计算

多值逻辑的表推演计算

1. 辛迪卡集与解释

在逻辑推理中，辛迪卡集是一个重要的概念。对于辛迪卡集 (S)，我们希望找到一种解释，使得 (S) 中的每个元素都为真。具体做法是为 (S) 中至少在一个元素里出现的每个变量 (p) 赋予一个真值：
1. 若 (T p \in S)，则给 (p) 赋值为真。
2. 若 (Fp \in S)，则给 (p) 赋值为假。
3. 若 (T p) 和 (Fp) 都不在 (S) 中，则可随意给 (p) 赋予真或假的值（为明确起见，我们假定赋予真值）。

由于假设 (H0) 保证了 (S) 中不会同时出现 (T p) 和 (Fp)，所以上述赋值规则是兼容的。我们可以通过对元素的阶进行归纳，证明在这种解释下 (S) 中的每个元素都为真。

对于表推演的完全性定理有如下结论：
- 若 (X) 是重言式，那么以 (F X) 开始的每个完成的表推演必定封闭。
- 每个重言式都可以通过表推演方法证明。

若 (S) 是一个有限的辛迪卡集，辛迪卡引理的证明实际上为我们提供了一个满足 (S) 的解释。因此，如果 (X) 不是重言式，那么以 (F X) 进行的完成的表推演能为我们提供一个 (X) 的反例，在这个反例中 (X) 为假。

2. 与四值语义的关系

我们提出用基于四值语义的决策逻辑替代传统的二值决策逻辑。为了将决策逻辑的二值语义扩展到四值语义，我们引入了关于结果关系的部分语义概念。

四值语义的真值集合为 (4 = {T, F, N, B})，分别表示真、假、既非真也非假、既真又假。一个模型 (M) 以如下方式确定原子公式的四值赋值 (