25、低复杂度位并行多项式基乘法器与高效模约简算法

低复杂度位并行多项式基乘法器与高效模约简算法

1. 位并行乘法器的复杂度分析

1.1 乘法器的异或门数量与时间延迟

在硬件实现中，为了实现特定的乘法器，需要一定数量的异或门。通过相关公式计算，实现某乘法器所需的异或门数量为 (N_2 = m + (k_2 - k_1) + 2(k_3 - k_2) + \cdots + (t - 1)(k_t - k_{t - 1}) + t(m - k_3 - 1) + t - 1 = (t + 1)m - \sum_{i = 1}^{t} k_i - 1) 。那么，该乘法器总共需要的异或门数量为 ((m - 1)^2 + N_1 + N_2 = (m + t)(m - 1)) 。

为了得到该乘法器的时间延迟，我们为每个坐标使用二叉树。对于 (j \notin [k_t, m - 2]) ，时间延迟 (T_C \leq \lceil \log_2(t + 1) \rceil T_X + T(e^{(0)}_0)) 。而对于 (k_t \leq j \leq m - 2) ，当形成 (c_j = (d_j + e^{(0)}_j) + e^{(1)}_j + e^{(2)}_j + \cdots + e^{(t)}_j) 且先计算 (d_j + e^{(0)}_j) 时，有：
- (T(d_j + e^{(0)}_j) \leq T_A + (1 + \lceil \log_2(m - 1) \rceil)T_X \leq T_A + (\lceil \log_2(\lfloor \frac{t}{2} \rfloor + 1) \rceil + \lceil \log_2(m - 1) \rceil)T_X)
- (T(