19、多项式基算术：加法、减法、乘法与平方运算详解

多项式基算术：加法、减法、乘法与平方运算详解

在许多领域，特别是密码学和编码理论中，多项式基算术在有限域 $GF(2^m)$ 上的运算有着重要的应用。下面我们将详细探讨该有限域上的加法、减法、乘法和平方运算。

1. 多项式基表示

在 $GF(2^m)$ 中，每个元素 $a$ 都可以用多项式基表示。一个多项式基是集合 ${\alpha^{m - 1}, \alpha^{m - 2}, \ldots, \alpha^2, \alpha, 1}$，使得元素 $a$ 可以唯一地表示为多项式：
$a = a_{m - 1}\alpha^{m - 1} + a_{m - 2}\alpha^{m - 2} + \cdots + a_2\alpha^2 + a_1\alpha + a_0$，其中 $a_i \in GF(2)$，其对应的二进制表示为 $(a_{m - 1}a_{m - 2} \cdots a_0)$。

例如，在 $GF(2^4)$ 中，各元素的表示如下表所示：
| 多项式 | 二进制 |
| — | — |
| 0 | (0000) |
| 1 | (0001) |
| $\alpha$ | (0010) |
| $\alpha + 1$ | (0011) |
| $\alpha^2$ | (0100) |
| $\alpha^2 + 1$ | (0101) |
| $\alpha^2 + \alpha$ | (0110) |
| $\alpha^2 + \alpha + 1$ | (0111) |
| $\alpha^3$ | (1000) |
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