8、求解 GF(2) 上稀疏线性方程组的硬件方案

求解 GF(2) 上稀疏线性方程组的硬件方案

在处理大整数分解等问题时，数域筛法（NFS）中的线性代数步骤是关键环节，而高效的硬件实现对于提高计算效率至关重要。本文将介绍两种用于线性代数步骤的硬件架构，并探讨如何通过分布式计算来克服硬件限制。

1. 线性代数步骤的两种架构

在数域筛法的关系收集步骤中，会构建一个稀疏矩阵 (A \in GF(2)^{m×m})。对于 1024 位数字，(m) 的估计值约为 (4×10^7) 或 (10^{10})，平均每列约有 100 个非零元素。为了找到矩阵列之间的线性依赖关系，通常使用块 Wiedemann 算法，该算法将问题转化为高效计算 (A · v, A^2 · v, …, A^k · v) 这样的序列，其中 (v) 是一个二进制向量。

1.1 Bernstein 设备

Bernstein 提出的设备使用 Schimmler 排序算法来实现矩阵向量乘法。该算法基于一个 (M × M) 的处理单元网格，每个处理单元存储一个整数值。通过一系列的交换操作，可以在 (8M - 8) 步内对 (M^2) 个数字进行排序。

以两个相邻处理单元 (\hat{Q}) 和 (\tilde{Q}) 为例，一个基本步骤如下：
1. (\hat{Q}) 向 (\tilde{Q}) 发送 (\hat{q})，(\tilde{Q}) 向 (\hat{Q}) 发送 (\tilde{q})。若存储的整数小于 (2^{26})，此操作可在一个时钟周期内通过单向 26 位总线完成。
2. (\hat{Q}) 和 (\tilde{Q}) 计算布尔值 (exchange := (\tilde{q} < \ha