cdq分治处理二维数点问题板子

合金Bunny酱

已于 2022-10-28 15:56:38 修改

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文章标签：算法 c++

于 2022-09-18 21:24:08 首次发布

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/bunny_1024/article/details/126922797

本文介绍CDQ分治结合二维数点算法的基本原理及应用实例，包括结构体定义、比较函数、关键函数实现等内容，并通过具体例题进行讲解。

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update at 2022/10/28，cdq+二维数点板子

1.首先是结构体，一个node就是一个数点，b用来存数点，s是临时数组，cdq的时候会用到

//ty=1表示实际点，ty=2表示询问的虚点，v表示权值（实际点权值是1，虚点权值是询问权值）
struct node{int ty,x,y,v,id;};
node b[N*5], s[N*5];

2.然后是cmp函数，一般是按照{x,ty}二元组从小到大排序

bool cmp(const node&a,const node&b){
	if(a.x==b.x) return a.ty<b.ty; //如果x相同，ty小的放前面（因为x相等时实点能对询问贡献）
	else return a.x<b.x; //否则就按x排序，x小的放前面
}

3.然后是add_point和add_query，要注意point的ty=1，query的ty=2，而具体函数怎么写要看题目要求，这个不是固定的。

void addP(int x,int y,int v){ //x，y是坐标，v是点的权值（本题权值都是1）
	b[++cnt] = {1,x,y,v,0};
}
void addQ(int x1,int y1,int x2,int y2,int id){ //id表示第id个询问
	b[++cnt] = {2,x2,y2,1,id};
	b[++cnt] = {2,x1-1,y2,-1,id};
	b[++cnt] = {2,x2,y1-1,-1,id};
	b[++cnt] = {2,x1-1,y1-1,1,id};
}

4.最后是cdq函数，大部分内容固定，统计答案部分要改

void cdq(int l,int r){
	if(l==r) return;
	int mid=l+r>>1;
	cdq(l,mid); cdq(mid+1,r);
	int pos = mid+1, sum=0, copy=l-1;
	FOR(i,l,mid){
		while(pos<=r && b[pos].y < b[i].y){
			s[++copy] = b[pos]; //归并排序正常操作（固定）
			//这一步，条件固定，但是后面的内容可能改
			if(b[pos].ty==2) ans[b[pos].id] += b[pos].v*sum;
			pos++;
		}
		if(b[i].ty==1) sum+=b[i].v; //累计左边贡献（固定）
		s[++copy] = b[i]; //归并排序正常操作（固定）
	}
	while(pos<=r){ //再把右半部分剩下的统计答案并且放入s数组
		s[++copy] = b[pos]; //（固定）
		//统计答案，条件固定，后面的可能改
		if(b[pos].ty==2) ans[b[pos].id] += b[pos].v*sum;
		pos++;
	}
	memcpy(b+l,s+l,sizeof(node)*(r-l+1)); //数组复制
}

例题：[SHOI2007]园丁的烦恼 - 洛谷

1.cdq分治的好处：不需要离散化

2.二维数点可以封装成两个函数，add_point和add_query。其中addP是二维上的单点修改，addQ是二维上一个矩形区域的询问。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define FOR(i, a, b) for (int i = (a); i <= (b); ++i)
const int N = 6e5+10;
int n,m; //n个点，m个修改/询问
struct node{int ty,x,y,v,id;}; //ty=1表示实际点，ty=2表示询问的虚点，v表示权值（实际点权值是1，虚点权值是询问权值）
node a[N*5], s[N*5];
int cnt, ans[N];

bool cmp(const node&a,const node&b){
	if(a.x==b.x) return a.ty<b.ty; //如果x相同，ty小的放前面（因为x相等时实点能对询问贡献）
	else return a.x<b.x; //否则就按x排序，x小的放前面
}
void addP(int x,int y,int v){ //x，y是坐标，v是点的权值（本题权值都是1）
	a[++cnt] = {1,x,y,v,0};
}
void addQ(int x1,int y1,int x2,int y2,int id){ //id表示第id个询问
	a[++cnt] = {2,x2,y2,1,id};
	a[++cnt] = {2,x1-1,y2,-1,id};
	a[++cnt] = {2,x2,y1-1,-1,id};
	a[++cnt] = {2,x1-1,y1-1,1,id};
}
void cdq(int l,int r){
	if(l==r) return; //处理完了，结束
	int mid=l+r>>1;
	cdq(l,mid); cdq(mid+1,r);
	int pos = mid+1, sum=0, copy=l-1;
	FOR(i,l,mid){
		while(pos<=r && a[pos].y < a[i].y){
			s[++copy] = a[pos]; //归并排序正常操作
			if(a[pos].ty==2) ans[a[pos].id] += a[pos].v*sum; //[l,i-1]部分能对a[pos]贡献，从i开始不能了，所以统计答案
			pos++;
		}
		if(a[i].ty==1) sum+=a[i].v; //累计贡献
		s[++copy] = a[i]; //归并排序正常操作
	}
	while(pos<=r){ //再把右半部分剩下的统计答案并且放入s数组
		s[++copy] = a[pos];
		if(a[pos].ty==2) ans[a[pos].id] += a[pos].v*sum; //统计答案
		pos++;
	}
	memcpy(a+l,s+l,sizeof(node)*(r-l+1)); //数组复制
}
void solve(){
    cin>>n>>m;
	FOR(i,1,n){
		int x,y; cin>>x>>y;
		addP(x,y,1);
	}
	FOR(i,1,m){
		int x1,y1,x2,y2; cin>>x1>>y1>>x2>>y2; //左下角和右上角
		addQ(x1,y1,x2,y2,i);
	}
	sort(a+1,a+cnt+1,cmp); //二维数点按x排序
	cdq(1,cnt); //cdq分治处理
	FOR(i,1,m) cout<<ans[i]<<'\n';
}
signed main(){
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int T=1; //cin>>T;
    while(T--) solve();
}

当然，有很多其他问题也可以转化成二维数点问题，从而用cdq+二维数点解决，比如：

【1】单点修改，区间询问问题，比如这个：

【模板】树状数组 1 - 洛谷

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define FOR(i, a, b) for (int i = (a); i <= (b); ++i)
#define int long long
const int N = 5e5+10;
int n,m; //n个点，m个修改/询问
struct node{int ty,x,y,v,id;}; //ty=1表示实际点，ty=2表示询问的虚点，v表示权值（实际点权值是1，虚点权值是询问权值）
node a[N*5], s[N*5];
int cnt=0, ans[N];
int tot=0;

bool cmp(const node&a,const node&b){
	if(a.x==b.x) return a.ty<b.ty; //如果x相同，ty小的放前面（因为x相等时实点能对询问贡献）
	else return a.x<b.x; //否则就按x排序，x小的放前面
}
void addP(int x,int y,int v){ //x，y是坐标，v是点的权值（本题权值都是1）
	a[++cnt] = {1,x,y,v,0};
}
void addQ(int x1,int y1,int x2,int y2,int id){ //id表示第id个询问
	a[++cnt] = {2,x2,y2,1,id};
	a[++cnt] = {2,x1-1,y2,-1,id};
	a[++cnt] = {2,x2,y1-1,-1,id};
	a[++cnt] = {2,x1-1,y1-1,1,id};
}
void cdq(int l,int r){
	if(l==r) return; //处理完了，结束
	int mid=l+r>>1;
	cdq(l,mid); cdq(mid+1,r);
	int pos = mid+1, sum=0, copy=l-1;
	FOR(i,l,mid){
		while(pos<=r && a[pos].y < a[i].y){
			s[++copy] = a[pos]; //归并排序正常操作
			if(a[pos].ty==2) ans[a[pos].id] += a[pos].v*sum; //[l,i-1]部分能对a[pos]贡献，从i开始不能了，所以统计答案
			// if(ans[a[pos].id]>0) cout<<a[pos].id<<' '<<ans[a[pos].id]<<endl;
			pos++;
		}
		if(a[i].ty==1) sum+=a[i].v; //累计贡献
		s[++copy] = a[i]; //归并排序正常操作
	}
	while(pos<=r){ //再把右半部分剩下的统计答案并且放入s数组
		s[++copy] = a[pos];
		if(a[pos].ty==2) ans[a[pos].id] += a[pos].v*sum; //统计答案
		pos++;
	}
	memcpy(a+l,s+l,sizeof(node)*(r-l+1)); //数组复制
}
void print(int x){
	cout<<a[x].ty<<' '<<a[x].x<<' '<<a[x].y<<' '<<a[x].v<<endl;
}
void solve(){
	cin>>n>>m;
	FOR(i,1,n){
		int x; cin>>x;
		addP(i,i,x); //一维是时间，一维是位置，权值是x
	}
	FOR(i,n+1,n+m){
		int ty,x,y; cin>>ty>>x>>y;
		if(ty==1) addP(i,x,y); //修改
		else if(ty==2) addQ(1,x,i,y,++tot); //询问
	}
	sort(a+1,a+cnt+1,cmp);
	cdq(1,cnt);
	FOR(i,1,tot) cout<<ans[i]<<'\n';
}
signed main(){
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int T=1; //cin>>T;
    while(T--) solve();
}

【2】逆序对问题（待更...）