Uva 12627 Erratic Expansion（不稳定膨胀）

题目链接 : Erratic Expansion

大致题意：

开始时有一个红气球，每过一段时间，气球会膨胀，

一个红气球膨胀成三个红气球，一个蓝气球膨胀成四个蓝气球（如图）

题目输入正整数n表示n组数据，每组数据有三个数，k，a，b，要返回第k个时刻的a到b的红气球总数。

思路：

通过图像不难发现，把第k个时刻的图均分为4个正方形，那么左上，右上，左下三个正方形都和k-1时刻的正方形一样，右下则全是蓝色气球，不用考虑。通过这样的分治思想，我们可以递归地得到任意k时刻的正方形前m行的红气球总数，那么f(k, b) - f(k, a-1)就是我们要得到的答案。按照这样的思路，不难写出如下代码 ：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;

/* 用来求时刻k时，前h行的红气球数量的函数 */
long long redNum(long k, long h){
    //递归出口
    if(h <= 0) return 0;
    if(k == 0 && h == 1) return 1;

    //算出此时正方形的行数的一半（k时刻行数是2^k，一半是2^(k-1)）
    long long mid = pow(2, k-1);

    //如果行数超过一半，分上下两部分看，上半部分是两个k-1时刻的正方形左右拼接在一起
    //下半部分左边也是一个k-1时刻的正方形，取前h-mid行。右边全是蓝气球，和为0
    if(h > mid) return 2 * redNum(k-1, mid) + redNum(k-1, h-mid);

    //如果行数没超过一半，那么只看上半部分，发现上半部分可以等效为k-1时刻的正方形两个左右拼接在一起，两个正方形都取前h行
    else return 2 * redNum(k-1, h);
}
int main(){
    int n;
    cin >> n;
    for(int i=1; i<=n; i++){
        long k, a, b;
        cin >> k >> a >> b;
		printf("Case %d: ",i);
        cout << redNum(k, b) - redNum(k, a-1) << '\n';
    }
}

然后，就超时了orz。

为什么会超时呢，主要是因为 2 * redNum(k-1, mid) 有大量的重复计算，而 2 * redNum(k-1, mid) 表示第k-1时刻的整个正方形的红气球数，实际上它等于3^(k-1)（这个也是我自己手算找规律的时候发现的），然后，只需要把这一句改了，就能ac了。

以下是已ac的代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;

/* 用来求时刻k时，前h行的红气球数量的函数 */
long long redNum(long k, long h){
    //递归出口
    if(h <= 0) return 0;
    if(k == 0 && h == 1) return 1;

    //算出此时正方形的行数的一半（k时刻行数是2^k，一半是2^(k-1)）
    long long mid = pow(2, k-1);

    //如果行数超过一半，分上下两部分看，上半部分是两个k-1时刻的正方形左右拼接在一起
    //所以上半部分是2 * redNum(k-1, mid)，经过计算可以发现它等于2 * (long long) pow(3, k-1)
    //下半部分左边也是一个k-1时刻的正方形，取前h-mid行。右边全是蓝气球，和为0
    //所以下半部分是2 * redNum(k-1, h-mid)
    if(h > mid) return 2 * (long long)pow(3, k-1) + redNum(k-1, h-mid);

    //如果行数没超过一半，那么只看上半部分，发现上半部分可以等效为k-1时刻的正方形两个左右拼接在一起，两个正方形都取前h行
    else return 2 * redNum(k-1, h);
}
int main(){
    int n;
    cin >> n;
    for(int i=1; i<=n; i++){
        long k, a, b;
        cin >> k >> a >> b;
		printf("Case %d: ",i);
        cout << redNum(k, b) - redNum(k, a-1) << '\n';
    }
}