陶哲轩实分析-第9章 R上的连续函数

最新推荐文章于 2021-01-02 12:56:52 发布

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#数学

该章节详细探讨了实数直线上子集的性质，如实值函数的代数、函数的极限值以及连续函数的概念。通过证明和例子解释了极限点、附着点、闭包以及函数的一致连续性，特别是如何通过中值定理和单调函数的性质来理解和应用这些概念。

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这一章比较容易理解了

9.1 实直线的子集合

习题
9.1.1
一方面 $X\subseteq Y$ => $\overline X\subseteq \overline Y$
另一方面 $Y\subseteq \overline X$ => $\overline Y\subseteq \overline {\overline X}=\overline X$ ，最后一个等式是习题9.1.6的结论
也可以不是用这个结论，反证法假定Y有一个不属于 $\overline X$ 的附着点x，那么存在 $\varepsilon$ ，对 $\overline X$ 中的所有点y满足 $|x-y|>\varepsilon$ ，这与在Y中存在y满足 $|x-y|\le \varepsilon$ 矛盾。

9.1.2
$X\subseteq \overline X$
集合每个元素都是集合的附着点
$\overline{X\cup Y}=\overline X \cup \overline Y$
$\supseteq$ 对于 $\overline X \cup \overline Y$ 中的任意元素，必然是X的附着点或者Y得附着点。
$\subseteq$ 反证法，加入有某个元素 $x\in \overline{X\cup Y}$ 并且 $x\notin \overline X \cup \overline Y$ ，那么存在 $\varepsilon$ ，对于任意 $y\in \overline X$ ，有 $|y-x|>\varepsilon$ ，对于任意 $z\in \overline Y$ ，有 $|z-x|>\varepsilon$ ，那么对于 $y\in X$ 和 $z\in Y$ 也同样，这样，x就不是 $X\cup Y$ 的附着点，矛盾。
$\overline{X\cap Y} \subseteq \overline X \cap \overline Y$
对于 $\overline{X\cap Y}$ 中的任意不属于 $X\cap Y$ 的点x，对于任意 $\varepsilon$ ，必然存在 $a\in X a\in Y$ 满足 $|x-a|\le\varepsilon$ ，那么x必然是X的附着点，也是Y的附着点
等号不成立，考虑X:(1,2)，Y:(2,3)
如果 $X\subseteq Y，那么\overline X\subset \overline Y$
因为Y的附着点必然也是X的附着点。