12、外代数与外形式：理论与应用

外代数与外形式：理论与应用

1. 外代数基础

• 外空间的构建
  • 对于线性空间 (V)，({e_i\wedge e_j} {i < j}) 构成 (\Lambda^2(V)) 的一组基，(\Lambda^2(V)) 的维数为 (C {n}^{2})。一般地，可构造向量 (v_1,\cdots,v_k) 的形式外积 (v_1\wedge\cdots\wedge v_k) 以及 (k -) 叶片。形式上的 (k -) 叶片的线性组合称为 (k -) 次外向量，或 (k -) 向量，或多重向量。
  • (\Lambda^k(V)) 是由所有 (k -) 向量构成的线性空间，满足以下法则：
    • 多重线性：对于所有 (v_1,\cdots,u_i,v_i,\cdots,v_k\in V) 和 (\alpha,\beta\in F)，有 (v_1\wedge\cdots\wedge(\alpha u_i+\beta v_i)\wedge\cdots\wedge v_k=\alpha(v_1\wedge\cdots\wedge u_i\wedge\cdots\wedge v_k)+\beta(v_1\wedge\cdots\wedge v_i\wedge\cdots\wedge v_k))。
    • 反交换性：(v_1\wedge\cdots\wedge v_i\wedge\cdots\wedge v_j\wedge\cdots v_k=-v_1\wedge\cdots\wedge v_j\wedge\cdots\wedge v_i\wedge\c