38、《五人分蛋糕的公平算法策略》

《五人分蛋糕的公平算法策略》

1. 基本概念与定义

在分蛋糕问题中，我们将蛋糕看作区间 $[0, 1]$，$u_i$ 是定义在 $[0, 1]$ 子集上的测度，满足 $u_i(\varnothing) = 0$，$u_i([0, 1]) = 1$，且当 $S_i$ 两两不相交时，$u(\bigcup_{i = 1}^{\infty}S_i) = \sum_{i = 1}^{\infty} u(S_i)$。

蛋糕的一种划分是将区间 $[0, 1]$ 分割为 $C_1 \cup C_2 \cdots \cup C_n$，其中 $C_i$ 分配给第 $i$ 个玩家。如果对于所有的 $i$ 都有 $u_i(C_i) \geq \frac{1}{n}$，则这种划分是公平（或成比例）的；如果对于所有的 $i$ 和 $j$ 都有 $u_i(C_i) \geq u_i(C_j)$，则是无嫉妒划分；如果 $u_i(C_i) \geq u_i(C_j) - \epsilon$，则是 $\epsilon$ - 无嫉妒划分。在本文中，我们只考虑每个 $C_i$ 是有限个区间的并集的情况。

在离散过程中，只允许两种类型的查询：
- 价值查询 $Q_1(i, S)$ ：该查询接受一个玩家 $i$ 和一个集合 $S$，并返回 $u_i(S)$。
- 切割查询 $Q_2(i, [a, b], p)$ ：该查询接受一个玩家 $i$、一个区间 $[a, b]$ 和一个实数 $0 < p < 1$，并输出最小的数 $c$，使得 $u_i([a, c]) = p \times u_i([a, b])$。