切蛋糕问题

三个极度自私的人分一个蛋糕，采用什么策略，能让三人都觉得公平？

 

所谓「三人都满意」，数学上有多种可能的涵义，常用的两种是：

• 公平：三人都认为自己的一份不少于 1/3
• 无怨：三人都不觉得别人拿得比自己多 Envy-free

无怨一定公平，但是公平不一定无怨。

 

一、公平

 

「公平」的切法要简单一些，这里有一个很通俗的介绍：MathematicsIn Europe，波兰数学家们做了很大贡献。针对 n 人的一般公平程序如下（Banachand Knaster 提出）：

1. 先排好顺序。
2. 第一个人切出他认为的 1/n。
3. 按顺序，每个人都判断一下，这一份是不是太大。是的话就削掉一点并进原来的蛋糕，不是的话跳过。
4. 所有人都判断过后，这一块给最后削过蛋糕的那位；如果没有人削过蛋糕，这块给第一个人。
5. 重复 2－4，直至最后剩两人，用我切你选的方式决定。

 

二、无怨

 

1、三人分蛋糕

1） 连续解

daniel 的答案是一种「走刀程序moving-knife procedure」。真正达到「无怨」的 走刀程序 见 Stromquistmoving-knife procedure，80 年代由 Stromquist 提出。

需要一个裁判，从左向右走刀，三人拿着刀站在裁判右边，保持在平分右边蛋糕的位置（按各自标准）。一旦三人中有一个喊「切」，此人获得裁判左边的蛋糕。然后三人中位于中间位置的那位（B）把刀切下。没蛋糕的两位中，离裁判近的那位获得中间那块，远的那位获得右边那块。

容易证明，三人都认为自己的那份最大。

 

走刀程序的坏处是连续，假设了两人同时叫停的概率为零，假设了蛋糕无限可分，现实中不好操作。

2） 离散解

一个离散程序是 Selfridge60 年代由 Selfridge 提出，90 年代由 Conway 独立提出并发表。

1. A 按照自己的标准把蛋糕切三块
2. 如果 B 认为最大的两块一样大，那么把 C，B，A 的顺序选蛋糕，结束。
3. 如果 B 认为其中一块 M 最大，他就从 M 削去一小块 R，使之与第二大的那块一样大，把 R 放在一边。
4. C 先选。如果 C 没有选 M，那么 B 必须选 M，否则一切正常，A 拿最后一块。
5. B 和 C 中没拿 M 的那位，把 R 分成三份，让 B 和 C 中拿了 M 的那位先挑一份，然后 A 选一份，最后一份留给自己。结束。

可以证明，三人都认为自己的那一份最大。

 

2、四人分蛋糕

1）连续解

首先需要一个引论，Austin'sprocedure for two partners and general fractions

这个引论声明了一种将蛋糕分成k份，且两个人均认为每份为1/k

步骤如下：

-- 首先证明K=2的情况

1. A拿着两把平行放置的刀，从蛋糕的最左边往最右边移动，要求保持两把刀中间的部分A始终认为是1/2
2. 在A移动的过程中，一旦B认为两把刀中间的部分为1/2，则喊停，A将两把刀切下

容易证明两刀之间的部分和剩下的部分，A和B均认为是1/2

至于为什么B一定会喊停，因为A从最左边移动到最右边是一个连续的过程，而最左边的部分和最右边的部分在B眼中必是一个大于1/2，一个小于1/2，故连续的过程中一定会经过一个等于1/2.

-- 证明K的情况

1. A将蛋糕K等分
2. 若有一块B认为其等于1/k，则去掉这一块，剩下的蛋糕退化为k-1的情况
3. 若2不成立，则B眼中必有一块大于1/k，一块小于1/k，将这两块放在一起，用k=2的走刀程序，必可以得到一块A、B都认同的1/k大小的蛋糕，将其去掉，再次退化为k-1的情况
4. 利用数学归纳法可将k退化至k=2的情况，完成

下面就是四人无怨走刀程序

1. 首先A、B使用Austin程序把蛋糕分成四等分
2. C将其认为最大的那块进行切割，使得其与第二大的一样多，切到的那块设其为X（若C认为有两块同样为最大，则不做切割）
3. 按照D、C、B、A的顺序来选分好的四块蛋糕，要求D或C必须将切割的那块选走。此时所有人都无怨
4. 下面来分割X，假设第3步中C拿走了切割的那块，那么接下来由D、A来使用Austin程序将X分为四等分。
5. 按照C、B、D、A的顺序来选X分成的四份蛋糕

可以证明，四人此时无怨

 

2）离散解

见N人分离散解

 

3、N人分蛋糕

1）连续解

实际上对Austin方法进行推广，可以得到一个N人走刀程序

1. 首先A1和A2用Austin程序将蛋糕二等分，且各取一块
2. 接着A3分别对A1、A2将其所拿的蛋糕进行1/3等分，兵分别拿走A1的1/3和A2的1/3，这时三个人都认为拿到了总蛋糕的1/3.
3. 递归下去直到第N个人，完成

2）离散解

多人无怨分割的离散程序，1995 年由Brams and Taylor 提出，但是需要切的次数可能无上界，因此应该说尚未完满解决。