2、单倍型问题的近似性研究

单倍型问题的近似性研究

单端单倍型识别/重建问题的近似性

单端单倍型识别（Single - Side Haplotype Identification，SSHI）和单端单倍型重建（Single - Side Haplotype Reconstruction，SSHR）问题在单倍型推断中具有重要意义，下面将详细介绍其近似性相关结论。

SSHI问题的近似性

• 定理1 ：单端单倍型识别问题存在一个 $O(\log n)$ 因子的多项式时间近似算法。
  • 证明思路 ：将该问题转化为集合覆盖问题。集合覆盖问题存在 $O(\log n)$ 因子的近似算法，从而为单端单倍型识别问题带来相同因子的近似算法。
  • 转化步骤 ：设单端单倍型识别问题的三个输入集为 $C_1$、$C_2$ 和 $G$。令 $S = G$，对于每个 $h_i \in C_2$，定义 $S_i$ 为所有 $g_j \in G$ 的集合，使得存在 $h’ \in C_1$，$h_i$ 和 $h’$ 能解析 $g_j$。集合覆盖问题的输入即为 $S$，$S_1$，$\cdots$，$S_m$（$m = |C_2|$）。可以证明，单端单倍型识别问题有大小为 $|C_2’|$ 的解 $C_2’ \subseteq C_2$，当且仅当集合覆盖问题有 $|C_2’|$ 个集合的解。
• 定理2 ：除非 $P = NP$，否则单端单倍型识别问题不存在 $o(\log n)$