利用Python来解决线性代数问题之行列式

最新推荐文章于 2025-06-20 21:26:41 发布

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分类专栏： Python解决线性代数问题

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/body_builder/article/details/79441223

本文介绍如何使用Python解决线性代数中的行列式问题，包括二阶和三阶行列式的计算，以及全排列和对换的处理方法。通过调用linalg模块的相关函数，如linalg.solve()和linalg.det()，可以方便地求解线性方程组和计算行列式的值。

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今天我们一起利用Python来解决线性代数中的行列式问题。
一：二阶与三阶行列式

这是一个简单的二元线性方程组，我们调用linalg. solve()函数就可以快速解决

import numpy as np
a = np.array([[3, -2], [2, 1]])
b = np.array([12, 1])
d = np.linalg.solve(a, b)
print(d)
[ 2. -3.]
#注意矩阵的逆和矩阵的转置的区别，此函数只对可逆矩阵有效果，如果不可逆则会出错。

这是一个简单的三阶行列式，我们调用linalg.det()函数就可以快速解决 (det=determinant行列式)

import numpy as np
a = np

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### 关于n阶行列式的定义与计算 #### 一、n阶行列式的定义 n阶行列式是从一个 \( n \times n \) 的矩阵中提取的一个标量值。它可以通过递归的方式定义，也可以基于全排列及其逆序数来表达。具体来说，对于任意 \( n \times n \) 方阵 \( A = (a_{ij}) \)，其对应的n阶行列式可以写成如下形式： \[ |A| = \sum_{(j_1,j_2,\ldots,j_n)} (-1)^{\tau(j_1,j_2,\ldots,j_n)} a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{nj_n} \] 其中，\( (j_1, j_2, \ldots, j_n) \) 是自然数 \( 1, 2, \ldots, n \) 的一种排列，而 \( \tau(j_1, j_2, \ldots, j_n) \) 则代表该排列的逆序数[^3]。 #### 二、n阶行列式的性质以下是关于n阶行列式的一些重要性质： 1. **转置不变性**：如果将矩阵 \( A \) 转置，则其行列式的值保持不变，即 \( |A^T| = |A| \)[^2]。 2. **行交换影响正负号**：当互换两行（或列）时，行列式的值会变号。 3. **比例关系**：若某一行的所有元素都乘以常数k，则整个行列式的值也会被这个常数所放大，即 \( |\text{kR}_i(A)| = k|A| \)。 4. **加法分配律**：如果有两个矩阵仅在某一行不同，其余部分相同，则它们对应行列式的和等于分别取这两行作为原位置所得新矩阵的行列式之和。 5. **零行/列特性**：只要有一整行或者整列为0向量，那么此行列式的值必然是0。 #### 三、n阶行列式的计算方法针对较大的n阶行列式，通常采用降阶的方法简化计算过程。主要思路是利用拉普拉斯展开定理，选取某一固定行或列逐步消减规模直至达到可以直接处理的小型情况为止。例如，在实际操作过程中可以选择第一行为基准点进行拆分： \[ |A| = \sum^n_{j=1}(-1)^{1+j}a_{1j}|M_{1j}| \] 这里 \( M_{1j} \) 表示去掉第1行和第j列之后剩下的子矩阵形成的(n-1)阶主子式[^1]。 ```python import numpy as np def determinant(matrix): """Calculate the determinant of an nxn matrix using recursion.""" size = len(matrix) if size == 1: return matrix[0][0] elif size == 2: return matrix[0][0]*matrix[1][1]-matrix[0][1]*matrix[1][0] else: det = 0 for col in range(size): sub_matrix = [row[:col]+row[col+1:] for row in matrix[1:]] sign = (-1)**col cofactor = matrix[0][col] * determinant(sub_matrix) det += sign*cofactor return det example_matrix = [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]] print(determinant(example_matrix)) # Output should be zero since rows are linearly dependent. ```