HDU 4609——3-idiots

本文介绍了一种计算给定数值集合中随机选取三个数能够构成三角形的概率的方法。通过统计数值出现次数并利用组合数学原理,文章详细解释了如何避免重复计算和排除非法组合,最终给出了一种高效的解决方案。

摘要生成于 C知道 ,由 DeepSeek-R1 满血版支持, 前往体验 >

题意:

给定n个数,随机从这n个数中取3个数,问能组成三角形的概率是多少?

思路:

首先把统计这n个数出现的个数,那么会得到一个向量,这个向量的自我的乘积就是a[i]+a[j]的可能的方案数,这样,我么就很方便求出了两条边的和的方案数。

但是在加的过程中,我么多加了a[i]+a[i]的情况,也就是自己跟自己相加的情况,所以我们要减去这一段。而且,在加的过程a[i]+a[j]和a[j]+a[i]是同一种情况,我们加了两次,所以要减去一半。

sum是num的前缀和,假设a[i]是三角形内要取得最长的边,那么只需要在前面取两条边并且这两条边的和大于a[i];
而长度和大于a[i]的取两个的取法是sum[len]-sum[a[i]].

但是这里面有不符合的。
一个是包含了取一大一小的
cnt -= (long long)(n-1-i)*i;
一个是包含了取一个本身i,然后取其它的
cnt -= (n-1);
还有就是取两个都大于的了
cnt -= (long long)(n-1-i)*(n-i-2)/2;
这样把i从0~n-1累加,就答案了。

参考了kuangbin 的博客:
http://www.cnblogs.com/kuangbin/archive/2013/07/24/3210565.html

code:

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;

const double PI=acos(-1.0);
typedef long long ll;

struct complex
{
    double l,r;
    complex(double ll=0.0,double rr=0.0){
        l=ll;r=rr;
    }
    complex operator +(const complex& B){
        return complex(l+B.l,r+B.r);
    }
    complex operator - (const complex& B){
        return complex(l-B.l,r-B.r);
    }
    complex operator *(const complex& B){
        return complex(l*B.l-r*B.r,l*B.r+B.l*r);
    }
};

/*
 * 进行FFT和IFFT前的反转变换。
 * 位置i和j(i二进制反转后位置)互换
 * len必须是2的幂
 */
void change(complex y[],int len){
    int i,j,k;
    for (int i=1,j=len/2;i<len-1;i++){
        if (i<j) swap(y[i],y[j]);
        k=len/2;
        while (j>=k){
            j-=k;
            k>>=1;
        }
        if (j<k) j+=k;
    }
}
/*
 * 做FFT
 * len必须为2^k形式,
 * on==1时是DFT,on==-1时是IDFT
 */
void fft(complex y[],int len,int on){
    change(y,len);
    for (int h=2;h<=len;h<<=1){
        complex wn(cos(-on*2*PI/h),sin(-on*2*PI/h));
        for (int j=0;j<len;j+=h){
            complex w(1,0);
            for (int k=j;k<j+h/2;k++){
                complex u=y[k];
                complex t=w*y[k+h/2];
                y[k]=u+t;
                y[k+h/2]=u-t;
                w=w*wn;
            }
        }
    }
    if (on==-1){
        for (int i=0;i<len;i++){
            y[i].l/=len;
        }
    }
}
const int MAXN=400040;
complex x1[MAXN];
ll sum[MAXN],num[MAXN];
int a[MAXN/4];

int main()
{
    int T,n;
    scanf("%d",&T);
    while (T--){
        scanf("%d",&n);
        memset (num,0,sizeof(num));
        for (int i=0;i<n;i++){
            scanf("%d",a+i);
            num[a[i]]++;
        }
        sort(a,a+n);
        int len1=a[n-1]+1,len=1;
        while (len<2*len1) len<<=1;
        for (int i=0;i<len1;i++){
            x1[i]=complex(num[i],0);
        }
        for (int i=len1;i<len;i++){
            x1[i]=complex(0,0);
        }
        fft(x1,len,1);
        for (int i=0;i<len;i++) x1[i]=x1[i]*x1[i];
        fft(x1,len,-1);
        for (int i=0;i<len;i++) {
            num[i]=(ll) (x1[i].l+0.5);
        }
        len=2*a[n-1];
        for (int i=0;i<n;i++) num[a[i]+a[i]]--;
        for (int i=1;i<=len;i++) num[i]/=2;
        sum[0]=0;
        for (int i=1;i<=len;i++) sum[i]=sum[i-1]+num[i];

        ll cnt=0;
        for (int i=0;i<n;i++){
            cnt+=sum[len]-sum[a[i]];
            cnt-=(ll)(n-i-1)*i;
            cnt-=(n-1);
            cnt-=(ll) (n-1-i)*(n-i-2)/2;
        }
        ll tot=(ll)n*(n-1)*(n-2)/6;
        printf("%.7f\n",1.0*cnt/tot);
    }
}
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