HDU-4609 3-idiots（卷积 FFT）

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FFT

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本文介绍了一种使用快速傅立叶变换（FFT）计算从n条随机线段中选取三条能构成三角形的概率的方法。通过计算组合数并利用FFT进行卷积处理，最终得出概率结果。

题目：给n条线段。问随机取三个，可以组成三角形的概率。

思路:求有多少种取法能构成三角形，再除以C(n,3)。卷积求出两条边构成的一个长度的方案数，然后拿第三条边来寻找总的方案数。用fft来求卷积。然后进行下面的处理，加和and去重

for(int i=1;i<=n;i++)
    sum[a[i]+a[i]]--;//把自己配自己的去掉
for(int i=1;i<=len;i++)
    sum[i]/=2;       //a和b组合==b和a组合
for(int i=1;i<=len;i++)
    sum[i]+=sum[i-1];//求一下方案数的前缀和

ll ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++)  //把a[i]当成最大边处理
{
   ans+=sum[len]-sum[a[i]];//加上所有组合中大于它的
   ans-=1ll*(n-i)*(i-1);   //减掉一个大于一个小于的情况
   ans-=1ll*(n-1);         //减掉选了其中一个是自己另一个是任意边的情况
   ans-=1ll*(n-i)*(n-i-1)/2;//减掉两个边都大于它的情况
}

完整代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const double PI=acos(-1.0);
struct Complex{
    double x,y;
    Complex(double _x=0.0,double _y=0.0){
        x=_x;
        y=_y;
    }
    Complex operator -(const Complex &b)const{
        return Complex(x-b.x,y-b.y);
    }
    Complex operator +(const Complex &b)const{
        return Complex(x+b.x,y+b.y);
    }
    Complex operator *(const Complex &b)const{
        return Complex(x*b.x-y*b.y,x*b.y+y*b.x);
    }
};
void change(Complex y[],int len)
{
    int i,j,k;
    for(i=1,j=len/2;i<len-1;i++)
    {
        if(i<j) swap(y[i],y[j]);
        k=len/2;
        while(j>=k)
        {
            j-=k;
            k/=2;
        }
        if(j<k)j+=k;
    }
}
void fft(Complex y[],int len,int on)
{
    change(y,len);
    for(int h=2;h<=len;h<<=1)
    {
        Complex wn(cos(-on*2*PI/h),sin(-on*2*PI/h));
        for(int j=0;j<len;j+=h)
        {
            Complex w(1,0);
            for(int k=j;k<j+h/2;k++)
            {
                Complex u=y[k];
                Complex t=w*y[k+h/2];
                y[k]=u+t;
                y[k+h/2]=u-t;
                w=w*wn;
            }
        }
    }
    if(on==-1)
        for(int i=0;i<len;i++)
        y[i].x/=len;
}
const int MAXN=400010;
Complex x1[MAXN],x2[MAXN];
int str1[MAXN/2],str2[MAXN/2],a[MAXN];
ll sum[MAXN];
int t,n;
int main()
{
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d",&n);
        memset(str1,0,sizeof str1);
        memset(str2,0,sizeof str2);
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            scanf("%d",&a[i]);
            str1[a[i]]++;
            str2[a[i]]++;
        }
        sort(a+1,a+n+1);
        int len1=a[n]+1;
        int len2=a[n]+1;
        int len=1;
        while(len<len1*2||len<len2*2) len<<=1;
        for(int i=0;i<len1;i++)
            x1[i]=Complex(str1[i],0);
        for(int i=len1;i<len;i++)
            x1[i]=Complex(0,0);
        for(int i=0;i<len2;i++)
            x2[i]=Complex(str2[i],0);
        for(int i=len2;i<len;i++)
            x2[i]=Complex(0,0);
        fft(x1,len,1);
        fft(x2,len,1);
        for(int i=0;i<len;i++)
            x1[i]=x1[i]*x2[i];
        fft(x1,len,-1);
        for(int i=0;i<len;i++)
            sum[i]=(ll)(x1[i].x+0.5);

        len=len1+len2-1;

        for(int i=1;i<=n;i++)
            sum[a[i]+a[i]]--;
        for(int i=1;i<=len;i++)
            sum[i]/=2;
        for(int i=1;i<=len;i++)
            sum[i]+=sum[i-1];

        ll ans=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            ans+=sum[len]-sum[a[i]];
            ans-=1ll*(n-i)*(i-1);
            ans-=1ll*(n-1);
            ans-=1ll*(n-i)*(n-i-1)/2;
        }
        ll S=1ll*n*(n-1)*(n-2)/6;
        printf("%.7f\n",(double)ans/S);
    }
	return 0;
}