二分查找的几点思考
很早听说90%的程序员写不出正确的二分查找程序，对此颇为怀疑也颇为惶恐。怀疑的是，二分查找真的很难写吗？惶恐的是，怀疑的我能否在短时间内写出一个正确的二分查找程序？为了自己能成为10%中的一员，在此特别总结了二分查找算法。
二分查找又称折半查找，用于在有序序列中快速寻找一个值。它始终维护一个子序列[low, high]，这个子序列可能包含目标值v。初始，这个子序列是整个序列[0, size-1], 每次取序列的中间值A[mid](其中，mid = low + (high-low)/2)与目标值v比较，因为序列是有序的，所以，每次都可以根据比较结果, 抛弃一半的序列。递归这个过程，直到找到目标值v或序列为空。
二分查找可以用递归实现，人们一般把二分查找写成非递归的。
程序1.1
int binary_search(int A[], int size, int v)
{
int mid, low, high;
low = 0; high = size - 1;
while (low <= high) {
mid = low + (high-low)/2; ① //avoid overflow
if(A[mid] == v)
return mid;
elseif(A[mid] < v)
low = mid+1;
else
high = mid-1;
}
return -1;
}
上述程序无需多解释了，①处没有写成mid = (low+high)/2;是为了避免整数溢出，当low和high较大时，low和high本身没有溢出，而low+high有可能溢出。
下面提一个有趣的问题：如果数组中有多个元素都是v，上面的函数返回的是哪一个的下标呢？第一个？最后一个？都不是。有时，我们想确定数组A[0…size-1]中v第一次出现的位置。那应该如何编写程序呢？
程序1.2
int binary_search_lb(int A[], int size, int v)
{
int mid, low, high;
low = 0; high = size - 1;
while(low < high) {
mid = low + (high-low)/2;
if(A[mid] >= v) high = mid; ①
else low = mid + 1; ②
}
//确认是否存在v
if(A[low] == v) return low;
elsereturn -1;
}
A[mid]和v的各种关系所带来的影响如下：
A[mid]=v : 至少已经找到一个，而左边可能还有，因此区间[low, mid];
A[mid]>v : 所求位置不可能在后面，本应该让high = mid-1;但是，令区间为[low, mid]也是没有问题的;
A[mid]<v : m和前面都不可行，因此区间变为[m+1, high]
while(low < high), 都与之前的二分查处程序不一样了。当只有一个元素（low=high）的时候，退出循环，最后仍要判断A[low]是否为v，有的话low就是等v的最小下标，没有的话返回-1；
其实，二分查找不仅可以用来查找某个元素的存在，通常还用来寻找解空间中满足某个条件的下界。这个条件或者说断言p，通常具有如下性质：
若 p(x)成立，对于所有的y>x, p(y)都成立。当然，若p(x) 不成立，所有y < x, p(y)都不成立。
就拿上个例子为例，换个说法就是，给定有序数组A[0…size-1]，寻找首个满足>=v条件的元素下标。因为数组是有序的，当某个元素值A[i]>=v时，后续的所有元素都满足>=v的条件。
假设数组A如下：
0 | 5 | 13 | 19 | 22 | 41 | 55 | 68 | 72 | 81 | 98 |
解空间就是下标的集合:
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
目标值v= 55时， 断言的满足情况如下：
no | no | no | no | no | no | yes | yes | yes | yes | yes |
我们如何写二分查找程序，寻找第一个yes所在的下标呢?程序和上面的是类似的。
如果没有yes存在，通常，我们返回一个不存在的标志。但这里，我们假想A[size]这个哨兵一定是满足条件的，可以把它看成是个无穷大的数，它一定大于v，当没有元素大于等于v时，我们返回size。程序如下：
程序1.3
int binary_search_lb(int A[], int size, int v)
{
int mid, low, high;
low = 0; high = size;
while(low < high) {
mid = low + (high-low)/2;
if(A[mid] >= v) high = mid; ①
else low = mid + 1; ②
}
return low;
}
寻找第一个yes，更通用的程序架构如下：
程序1.4
binary_search(low, high, p):
while low < high:
mid = low + (high-low)/2
if p(mid) == true:
high = mid
else:
low = mid+1
if p(low) == false:
complain // p(x) is false for all x in S!
return low // lo is the least x for which p(x) is true
分析：
当p(mid) =true时，mid是解，左边可能还有，区间为[low, mid]。
当p(mid)=false, 解不可能在mid的前面，包括mid，区间为[mid+1, high]。
如何求不满足条件的最后一个no呢？程序框架如下：
程序1.5
// warning: there is a nasty bug in this snippet!
binary_search(low, high, p):
while low < high:
mid = low + (high-low)/2 // note: division truncates
if p(mid) == true:
high = mid-1
else:
low = mid
if p(low) == true:
complain // p(x) is true for all x in S!
return low // lo is the greatest x for which p(x) is false
但是这个程序有问题，当只剩两个解，且第一个解是no时，程序陷入死循环。
no | yes |
解决方法是将mid = low + (high-low)/2改为mid = low + (high-low+1)/2。这样的话，当元素个数大于等于2个时，low<mid<=high, mid -1 < high，区间不会和上次重复，每次范围都会缩小，直到元素个数为1，所以不会陷入死循环。
例题1：
给出n个整数xi和m个询问，对于每个询问（a，b），输出闭区间[a, b]内的整数xi的个数。
有了前面的经验，我们知道“把数据存在数组A里并排序”是一个很好的预处理方法。
问题1： 大于等于a的第一个元素的下标L是什么？它等于a的lower_bound（下界）。如果所有元素都小于a，L = size,相当于把不存在的元素看作无穷大。
问题2： 小于等于b的最后一个元素的“下一个目标”R，或者说大于b的第一个目标R是什么？它和问题2是一样的，都是first yes问题。
这样问题的答案就是区间[L,R]的长度，R-L。
求上界的程序，只需要在程序1.3的基础上将>=v改为>v即可。
程序1.6
int binary_search_ub(int A[], int size, int v)
{
int mid, low, high;
low = 0; high = size;
while(low < high) {
mid = low + (high-low)/2;
if(A[mid] > v) high = mid;
else low = mid + 1;
}
return low;
}
例题2：把一个包含n个正整数的序列划分成m个连续的子序列（每个正整数恰好属于一个序列）。设第i个序列的各数之和为S(i),你的任务是让所有S(i)的最大值尽量小。例如序列1 2 3 2 5 4 划分成3个序列的最优方案为1 2 3| 2 5| 4，其中S(1)、S(2)，S(3)分别为6、7、4最大值为7；如果划分成1 2 |3 2| 5 4， 则最大值为9，不如刚才好。n <= 106 ，所有数之和不超过109。
分析： 我们考虑一个新的问题：能否把输入序列划分成m个连续的子序列，使得所有S(i)均不超过x？我们把这个问题的答案用微词P（x）表示，则让P(x)为真的最小x就是原题的答案。P（x）并不难计算尽量往右划分即可。P(x)满足二分查找的条件，解空间对于的P(x)值是 no no no … yes yes yes … yes的形式。寻找first yes即可，时间复杂度为O(nlogM)，M是所有数的和。
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