傅里叶变换（Fourier Transform, FT）是信号处理中最重要的工具之一，能够将信号从时域转换到频域，揭示其频率组成。然而，它在分析非平稳信号（频率随时间变化的信号）时存在明显局限性。为此，发展出了短时傅里叶变换（STFT）和连续小波变换（CWT），以实现对信号的时频联合分析。
一、傅里叶变换的局限性
-
无时间定位能力
FT 对整个时间轴进行积分：
X(ω)=∫−∞∞x(t)e−jωtdt X(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j\omega t} dt X(ω)=∫−∞∞x(t)e−jωtdt
它只能反映信号“有哪些频率”，但不能说明“这些频率出现在什么时间”。 -
仅适用于平稳信号
若信号频率随时间变化（如语音、地震波、脑电EEG），FT 无法有效刻画其动态特性。 -
全局性分析导致局部特征丢失
即使某个高频成分只存在于极短时间内，FT 也会将其表现为在整个时间范围内存在的频率分量。
✅ 结论：FT 不适合分析非平稳信号的时变频率特性。
二、连续短时傅里叶变换（STFT）
为克服 FT 的缺陷，引入一个滑动窗函数 $ g(t) $，对信号进行局部化分析。
定义：
STFTxg(t,ω)=∫−∞∞x(τ)g(τ−t)e−jωτdτ
\text{STFT}_x^{g}(t, \omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) g(\tau - t) e^{-j\omega \tau} d\tau
STFTxg(t,ω)=∫−∞∞x(τ)g(τ−t)e−jωτdτ
其中：
- $ g(t) $ 是窗函数（如高斯窗、汉宁窗），具有有限宽度；
- $ t $ 表示时间中心位置；
- $ \omega $ 是角频率；
- STFT 是一个二维函数，表示信号在时间 $ t $ 和频率 $ \omega $ 处的能量分布。
特点：
- 将信号划分为多个时间段，每个段内近似平稳；
- 输出为时频图（spectrogram）；
- 窗口大小固定 → 时间分辨率与频率分辨率不可同时优化。
三、连续小波变换（CWT）
CWT 使用可伸缩和平移的小波基函数来分析信号，能自适应地调整时间-频率分辨率。
定义：
CWTxψ(a,b)=1∣a∣∫−∞∞x(t)ψ∗(t−ba)dt
\text{CWT}_x^{\psi}(a,b) = \frac{1}{\sqrt{|a|}} \int_{-\infty}^{\infty} x(t) \psi^*\left(\frac{t - b}{a}\right) dt
CWTxψ(a,b)=∣a∣1∫−∞∞x(t)ψ∗(at−b)dt
其中：
- $ \psi(t) $ 是母小波（mother wavelet），满足可积性和容许性条件；
- $ a ：尺度参数（scale），：尺度参数（scale），：尺度参数（scale）， a > 0 ，对应于频率（，对应于频率（，对应于频率（ a \uparrow \Rightarrow f \downarrow $）；
- $ b $：平移参数（translation），表示时间位置；
- $ \frac{1}{\sqrt{|a|}} $：能量归一化因子。
特点：
- 小尺度 $ a $ 小 → 高频成分，时间分辨率高，频率分辨率低；
- 大尺度 $ a $ 大 → 低频成分，时间分辨率低，频率分辨率高；
- 具有“变焦”能力，适合多尺度分析。
四、STFT 与 CWT 的时频分析特点对比
| 特性 | STFT | CWT |
|---|---|---|
| 窗口大小 | 固定宽度 | 自适应：随尺度变化 |
| 时间分辨率 | 恒定 | 高频时高，低频时低 |
| 频率分辨率 | 恒定 | 低频时高，高频时低 |
| 基函数 | 复指数 $ e^{j\omega t} $ 加窗 | 可调小波 $ \psi\left(\frac{t-b}{a}\right) $ |
| 适用场景 | 近似平稳信号，频率变化缓慢 | 非平稳信号，突变或多尺度特征（如脉冲、瞬态） |
| 时频分辨率表现 | 均匀网格（矩形） | 多分辨率（高频细时间/粗频率，低频反之） |
📌 直观比喻：
- STFT 像用同一放大倍数的显微镜看不同区域；
- CWT 像可以调节放大倍数的显微镜，在需要的地方“放大观察”。
五、测不准原理（Uncertainty Principle）
也称海森堡不确定性原理（Heisenberg Uncertainty Principle）在信号处理中的体现：
时间和频率的分辨率不能同时无限精确。
数学表达为：
Δt⋅Δω≥12
\Delta t \cdot \Delta \omega \geq \frac{1}{2}
Δt⋅Δω≥21
其中：
- $ \Delta t $：信号在时间上的标准差（时间分辨率）；
- $ \Delta \omega $：频谱在频率上的标准差（频率分辨率）。
含义：
- 缩小时间窗口 → 提高时间分辨率（$ \Delta t \downarrow ），但频率分辨率下降（），但频率分辨率下降（），但频率分辨率下降（ \Delta \omega \uparrow $）；
- 扩大时间窗口 → 提高频率分辨率，但模糊了时间信息。
💡 这正是 STFT 中必须权衡窗宽的原因，也是 CWT 试图通过多尺度缓解的问题。
⚠️ 注意：测不准原理限制了所有线性时频分析方法的极限，无论使用 STFT 或 CWT，都无法突破这一理论边界。
六、总结对比表
| 方法 | 分析方式 | 分辨率特性 | 优点 | 缺点 |
|---|---|---|---|---|
| FT | 全局频域分析 | 无时间分辨率 | 简单、高效 | 无法处理非平稳信号 |
| STFT | 固定窗口时频分析 | 时间与频率分辨率固定 | 易实现、直观 | 分辨率不可调，受窗函数限制 |
| CWT | 多尺度时频分析 | 自适应分辨率 | 高频细节清晰，适合瞬态分析 | 计算复杂，冗余度高，解释较难 |
小波变换（Wavelet Transform, WT）比短时傅里叶变换（STFT）更适合分析瞬态信号（如脉冲、突变、尖峰等短暂出现的信号成分），主要原因在于其多分辨率分析能力（Multiresolution Analysis, MRA）和自适应的时间-频率窗口特性。
一、什么是瞬态信号？
瞬态信号是指在短时间内突然出现、持续时间极短的信号变化，例如：
- 雷击、机械冲击；
- 心电图中的R波尖峰；
- 地震波初至波；
- 数字通信中的突发噪声。
这类信号的特点是：高频、局部化、非平稳。
二、STFT 的局限性对瞬态信号不利
STFT 使用固定宽度的窗函数进行频谱分析：
STFT(t,ω)=∫x(τ)g(τ−t)e−jωτdτ \text{STFT}(t,\omega) = \int x(\tau) g(\tau - t) e^{-j\omega \tau} d\tau STFT(t,ω)=∫x(τ)g(τ−t)e−jωτdτ
其中 $ g(t) $ 是窗函数（如高斯窗或汉宁窗），宽度固定。
问题：
- 时间与频率分辨率不可调和
- 窗口宽 → 频率分辨率高，但时间模糊（难以定位突变时刻）；
- 窗口窄 → 时间分辨率高，但频率分辨率差（频谱展宽）；
- 无法兼顾高频细节与低频结构
👉 对于一个只存在几毫秒的尖峰信号，若使用宽窗则“淹没”在背景中；用窄窗虽能定位时间，却得不到准确频率信息。
三、小波变换的优势：变尺度分析
连续小波变换（CWT）定义为：
CWTxψ(a,b)=1∣a∣∫−∞∞x(t)ψ∗(t−ba)dt \text{CWT}_x^{\psi}(a,b) = \frac{1}{\sqrt{|a|}} \int_{-\infty}^{\infty} x(t) \psi^*\left(\frac{t - b}{a}\right) dt CWTxψ(a,b)=∣a∣1∫−∞∞x(t)ψ∗(at−b)dt
其中：
- $ a $：尺度参数（scale），控制伸缩；
- $ b $：平移参数，控制时间位置；
- $ \psi(t) $：母小波，具有紧支撑或快速衰减特性。
关键机制：尺度自适应
- 小尺度 $ a \ll 1 $ → 小波被压缩 → 时间宽度小 → 高时间分辨率 + 低频率分辨率
- 适合检测高频瞬态事件（如尖峰、跳变）
- 大尺度 $ a \gg 1 $ → 小波被拉长 → 时间宽度大 → 低时间分辨率 + 高频率分辨率
- 适合分析低频长期趋势
📌 直观理解：
小波像一个“可变焦镜头”——遇到瞬态就放大时间轴精细观察，遇到慢变信号则拉远看整体。
四、实例对比：检测一个瞬间脉冲
假设信号包含一段长时间正弦波 + 中间插入一个极短的δ型脉冲。
| 方法 | 表现 |
|---|---|
| STFT | 在整个频带内看到短暂的能量增强，但由于窗宽固定，要么看不到细节（宽窗），要么频谱混乱（窄窗） |
| CWT | 在小尺度下清晰显示该脉冲出现在某一时刻，且不影响其他尺度上的低频分析结果 |
✅ CWT 能精准定位瞬态发生的时间，并识别其大致频率范围。
五、母小波的选择增强瞬态捕捉能力
许多小波基天生适合捕捉突变，例如：
- Haar小波：最简单的阶跃型小波，直接响应跳变；
- Daubechies小波（dbN）：紧支撑、光滑性可控，适合工程应用；
- Morlet小波：类高斯包络复指数，适合时频分析；
- Mexican Hat / Ricker小波：二阶导数形式，对尖峰敏感。
这些小波可以设计成与瞬态波形相似，实现匹配滤波效应，极大提升检测灵敏度。
六、总结：为什么小波更适合？
| 比较维度 | STFT | CWT | 小波优势 |
|---|---|---|---|
| 时间分辨率 | 固定 | 自适应（高频更高） | ✅ 精确定位瞬态时刻 |
| 频率分辨率 | 固定 | 自适应（低频更高） | ✅ 平衡全局与局部需求 |
| 窗口调节 | 手动选窗，无法动态调整 | 自动随尺度变化 | ✅ 多尺度联合分析 |
| 对突变响应 | 弱（依赖窗函数） | 强（可通过小波设计优化） | ✅ 更易检测边缘、跳变、脉冲 |
| 物理意义 | 明确的时频能量分布 | 需解释尺度-频率关系 | ❌ 略复杂，但可通过标度图可视化 |
结论：
小波变换通过多分辨率分析，在高频区域提供更高的时间分辨率，能够精确捕捉瞬态信号的发生时刻和强度，而不会牺牲对低频成分的分析能力。相比之下，STFT 受限于固定的时频窗口，难以兼顾瞬态定位与频谱精度。因此，小波变换更适用于瞬态信号的分析。
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