当研究多个随机现象之间的相互关系时（如气温与湿度、股票A与股票B），我们需要同时考虑**两个随机过程**的统计行为

两个随机过程的联合分布及数字特征

当研究多个随机现象之间的相互关系时（如气温与湿度、股票A与股票B），我们需要同时考虑两个随机过程的统计行为。为此，必须引入它们的联合分布和交叉数字特征，以刻画彼此之间的依赖结构。

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一、两个随机过程的基本设定

设：

• $ {X(t)}{t \in T} $ 和 $ {Y(s)}{s \in S} $ 是定义在相同概率空间 $ (\Omega, \mathcal{F}, P) $ 上的两个随机过程
• 参数集可以相同或不同（通常都取 $ T = S $）
• 状态空间分别为 $ \mathbb{R} $ 或其他可测空间

我们关注的是这两个过程在不同时刻之间的联合统计特性。

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二、联合有限维分布函数族（Joint Finite-Dimensional Distributions）

对任意正整数 $ m,n $，选取时间点：

• $ t_1, t_2, \ldots, t_m \in T $
• $ s_1, s_2, \ldots, s_n \in S $

构造联合随机向量：
$$(X(t_1),\dots ,X(t_m),Y(s_1),\dots ,Y(s_n))$$

其联合分布函数为：
$$F_{t_1,\dots ,t_m;s_1,\dots ,s_n}(x_1,\dots ,x_m;y_1,\dots ,y_n)=P\left(X(t_i)\le x_i,i=1,\dots ,m;Y(s_j)\le y_j,j=1,\dots ,n\right)$$

所有这样的分布构成的集合称为 $ (X(t), Y(s)) $ 的联合有限维分布函数族。

✅ 完全刻画了两个过程的所有联合概率性质。

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三、联合数字特征（Cross Characteristics）

除了各自的均值、方差外，还需引入反映二者关联性的交叉数字特征。

1. 互相关函数（Cross-Correlation Function）

定义为：
$$R_{XY}(s,t)=E[X(s)Y(t)],s,t\in T$$

📌 含义：衡量一个过程在 $ s $ 时刻与另一个过程在 $ t $ 时刻的乘积期望。

⚠️ 注意：不要求去中心化！

性质：

• $ R_{XY}(s,t) = R_{YX}(t,s) $ —— 对称性（转置意义下）
• 若 $ X=Y $，则退化为自相关函数 $ R_X(s,t) $

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2. 互协方差函数（Cross-Covariance Function）

定义为：
$$C_{XY}(s,t)=\text{Cov}(X(s),Y(t))=E\left[(X(s)-m_X(s))(Y(t)-m_Y(t))\right]$$

也可写成：
$$C_{XY}(s,t)=E[X(s)Y(t)]-m_X(s)m_Y(t)=R_{XY}(s,t)-m_X(s)m_Y(t)$$

📌 含义：去除均值后，衡量两个过程在不同时刻的线性相关程度。

特例：

• 若 $ s = t $，记作 $ C_{XY}(t,t) = \text{Cov}(X(t), Y(t)) $：同一时刻的协方差
• 若 $ C_{XY}(s,t) = 0,\ \forall s,t $，称 $ X $ 与 $ Y $ 不相关

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3. 相关系数函数（Cross-Correlation Coefficient）

标准化后的互协方差：
$${\rho }_{XY}(s,t)=\frac{C_{XY}(s,t)}{{\sigma }_X(s){\sigma }_Y(t)}$$
其中 $ \sigma_X(s) = \sqrt{\text{Var}(X(s))},\ \sigma_Y(t) = \sqrt{\text{Var}(Y(t))} $

✅ 范围：$ -1 \leq \rho_{XY}(s,t) \leq 1 $

👉 衡量标准化后的动态相关性强度。

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四、独立性 vs 不相关性

概念	数学表达	说明
独立性
$$
F_{X,Y}(x_1,\ldots,x_m;y_1,\ldots,y_n) = F_X(\cdot) \cdot F_Y(\cdot)
$$
所有联合分布可分解为边缘分布之积 ⇒ 最强无关性
不相关性	$ C_{XY}(s,t) = 0,\ \forall s,t $	仅表示无线性相关，弱于独立性

🔔 特别注意：高斯过程中，“不相关” ⇔ “独立”，这是特例！

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五、常见情形举例

🌰 例1：两个联合平稳过程

若 $ X(t) $ 和 $ Y(t) $ 是宽平稳过程，且联合宽平稳，则：

• 均值恒定：$ m_X(t) = \mu_X,\ m_Y(t) = \mu_Y $
• 自协方差只依赖于时间差：$ C_X(\tau) = C_X(t+\tau,t) $
• 互协方差也只依赖于时间差：
  $$C_{XY}(\tau )=C_{XY}(t+\tau ,t)=\text{Cov}(X(t+\tau ),Y(t))$$
• 互相关函数同理：$ R_{XY}(\tau) = R_{XY}(t+\tau, t) $

📌 这在信号处理中非常重要，用于分析滤波器输入输出的关系。

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🌰 例2：白噪声驱动的系统

设：

• $ X(t) $ 是某系统的输出
• $ Y(t) $ 是输入噪声

通过估计 $ C_{XY}(\tau) $ 可识别系统的冲激响应（系统辨识基础）。

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六、联合数字特征的应用领域

应用领域	使用方式
信号处理	利用互相关检测信号延迟（如雷达回波）、同步通信信号
金融工程	分析两种资产收益之间的协动性，构建投资组合风险模型
生物医学	研究脑电图（EEG）信号间的功能连接（coherence analysis）
控制系统	评估输入与输出之间的动态响应关系
时间序列建模	构建 VAR（向量自回归）模型需估计互协方差结构

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七、可视化与估计方法（实际数据分析）

方法	实现思路
样本互相关函数（Sample Cross-Correlation）
给定观测序列 $ {x_t}, {y_t} $，计算：
$$
\hat{R}{XY}(k) = \frac{1}{n} \sum{t=1}^{n-k} x_{t+k} y_t
$$
去中心化版本即为 $ \hat{C}_{XY}(k) $
热力图展示 $ C_{XY}(s,t) $	对二维网格上的协方差进行图像化呈现
显著性检验	判断 $ C_{XY}(s,t) $ 是否显著偏离零

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