4、随机变量的概率分布与数字特征

随机变量的概率分布与数字特征

1. 连续随机变量概述

所有关于随机变量 (X) 的概率陈述都可以通过其概率密度函数 (f(x)) 来解答。例如，对于区间 (B = [a, b])，有 (P ( a \leq X \leq b )) 的相关计算。若令 (a = b)，可以得出连续随机变量取任何特定值的概率为零。

累积分布函数 (F(.)) 与概率密度函数 (f(.)) 之间的关系为 (F(a)=P{X\in(-\infty,a)})，对其两边求导可得，密度函数是累积分布函数的导数。当 (\epsilon) 很小时，随机变量 (X) 落在点 (a) 附近长度为 (\epsilon) 的区间内的概率近似为 (\epsilon f(a))，这表明 (f(a)) 衡量了随机变量接近 (a) 的可能性。

常见的连续随机变量有以下几种：

1.1 均匀随机变量

若随机变量 (X) 的概率密度函数为：
[
f(x) =
\begin{cases}
1, & 0 < x < 1 \
0, & \text{otherwise}
\end{cases}
]
则称 (X) 在区间 ((0, 1)) 上服从均匀分布。因为 (f(x) \geq 0) 且 (\int_{0}^{1} f(x) dx = \int_{0}^{1} 1 dx = 1)，所以它是一个密度函数。由于 (f(x)) 仅在 (x \in (0, 1)) 时大于 0，所以 (X) 取值必然在 ((0, 1)) 内，且 (f(x)) 在 ((0, 1)) 上为常数，意味着 (X) 接近 ((0