卷积码是一类具有“记忆性”的差错控制编码，广泛应用于卫星通信、移动通信（如GSM、4G/5G）、深空通信等领域

3. 卷积码（Convolutional Codes）

卷积码是一类具有“记忆性”的差错控制编码，广泛应用于卫星通信、移动通信（如GSM、4G/5G）、深空通信等领域。与分组码不同，卷积码的输出不仅取决于当前输入的信息位，还依赖于前若干个输入位。

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一、卷积码的基本概念

1. 卷积码的产生

• 卷积码通过移位寄存器和模2加法器实现。
• 输入信息流连续进入编码器，每输入 $ k $ 位，输出 $ n $ 位编码符号。
• 编码过程类似于“滑动窗口”，每个输出是当前及过去若干输入的线性组合。

✅ 类似数字信号处理中的卷积运算 → 故称“卷积码”

2. 参数表示：$ (n, k, K) $

• $ k $：每次输入的比特数（通常为1）
• $ n $：每次输出的比特数
• $ K $：约束长度（Constraint Length），表示编码器中寄存器级数（记忆深度）

📌 实际中常取 $ k=1 $，则编码效率为 $ R = k/n = 1/n $

⚠️ 注意：有些文献将 $ K $ 定义为总记忆比特数（即寄存器级数），也有的定义为 $ K = m + 1 $，其中 $ m $ 是最大延迟。

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3. 编码效率（Code Rate）

$$R=\frac{k}{n}$$
常见码率有 $ 1/2, 1/3, 2/3, 3/4 $ 等

• 码率越低，冗余越多，纠错能力越强，但传输效率下降

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二、卷积码的解析表示

1. 生成矩阵（Generator Matrix）

• 卷积码也可用无限维的生成矩阵 $ \mathbf{G} $ 表示：
  $$\mathbf{c}=\mathbf{u}\cdot \mathbf{G}$$
• 但由于其“无限长”特性，实际使用较少，主要用于理论分析。

2. 生成多项式（Generator Polynomials）

最常用的解析方式！

• 每个输出支路对应一个生成多项式 $ g^{(i)}(x) $
• 多项式系数表示该支路是否连接到某一级寄存器

📌 示例：一个 $ (2,1,3) $ 卷积码，若两个输出支路连接关系为：

• 输出1：连接第1级和第3级 → $ g^{(1)}(x) = x^2 + 1 $
• 输出2：连接第1级和第2级 → $ g^{(2)}(x) = x^2 + x $

则可记作：$ G = [g^{(1)}, g^{(2)}] = [1 + x^2, x + x^2] $ 或以八进制表示为 G = [7, 5]

✅ 接收端可根据这些多项式构建译码器

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三、卷积码的图解表示

为了直观理解卷积码的行为，常用以下三种图形工具：

1. 状态图（State Diagram）

• 状态由移位寄存器的内容决定（共 $ 2^{K-1} $ 个状态）
• 每个状态转移代表一次输入（0或1）引起的变换
• 边上标注输出（如“00”、“11”）

📌 适用于小 $ K $ 的情况，展示所有可能的状态转移路径

2. 树状图（Tree Diagram）

• 树根为初始状态（全零）
• 每一层代表一个时间单位
• 分支表示输入0或1后的输出和状态变化
• 随时间增长呈指数扩展

❗ 缺点：重复状态未合并，图形庞大

3. 网格图（Trellis Diagram）

• 最重要、最实用的表示方法
• 横轴为时间，纵轴为状态
• 每个节点表示某一时刻的某个状态
• 连线表示状态转移，边上标有输入/输出（如“1/11”）

✅ 维特比译码就是在网格图上寻找最可能路径

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四、卷积码的维特比译码原理（Viterbi Decoding）

维特比算法是一种最大似然序列译码（MLSD）方法，基于动态规划思想，在网格图中搜索最接近接收序列的合法路径。

基本思想：

• 接收端收到的是可能含错的序列 $ \mathbf{r} $
• 在所有可能的发送路径中，找出与 $ \mathbf{r} $ 汉明距离最小（或欧氏距离最小）的路径作为估计路径

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步骤详解：

1. 初始化：从起始状态（通常是全0）开始
2. 递推：每一时刻计算到达每个状态的所有路径的累积度量（如汉明距离）
3. 比较/选择：对每个状态保留度量最优的一条路径（称为幸存路径）
4. 存储路径信息：记录每条幸存路径的历史
5. 回溯判决：当译码结束或达到一定深度后，选择总度量最小的路径，并回溯得到原始信息

✅ 关键优势：避免穷举所有路径，复杂度仅为 $ O(2^{K-1}) $ 而非 $ O(2^L) $

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特点：

优点	缺点
能有效纠正随机错误	计算复杂度随 $ K $ 指数增长
适合硬判决和软判决输入（软判决性能更好）	需要较长的回溯深度才能准确译码
可实现近似最优译码	对突发错误敏感（需配合交织）

📌 应用：GPS、CDMA、DVB-S、4G LTE 中均采用维特比译码

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