通过以上分析可以看出，简单排序（插入、选择、冒泡）适用于小规模数据，而高级排序（快速、堆、归并）在大规模数据下效率更优

6、各种排序算法的时间复杂度

排序方法	时间复杂度	稳定性
直接插入	O(n²)	稳定
简单选择	O(n²)	不稳定
冒泡排序	O(n²)	稳定
希尔排序	O(n^s)	不稳定
快速排序	O(n log n)	不稳定
堆排序	O(n log n)	不稳定
归并排序	O(n log n)	稳定

一、时间复杂度的补充说明

时间复杂度描述了算法执行时间随数据规模 ( n ) 增长的趋势，以下是各排序算法的具体分析：

1. 直接插入排序

   • 时间复杂度：( O(n²) )
   • 细节：最坏情况（逆序数组）下，每插入一个元素都需遍历前面所有元素，总操作次数为 ( 1+2+…+(n-1) = \frac{n(n-1)}{2} )，趋近于 ( O(n²) )；最好情况（有序数组）下，只需遍历一次，时间复杂度为 ( O(n) )。

2. 简单选择排序

   • 时间复杂度：( O(n²) )
   • 细节：无论数组是否有序，都需要在每一轮遍历剩余元素寻找最小值，总比较次数固定为 ( (n-1)+(n-2)+…+1 = \frac{n(n-1)}{2} )，因此最好和最坏情况均为 ( O(n²) )。

3. 冒泡排序

   • 时间复杂度：( O(n²) )
   • 细节：最坏情况（逆序数组）下，需要 ( n-1 ) 轮冒泡，每轮交换 ( n-i ) 次，总操作次数为 ( O(n²) )；最好情况（有序数组）下，若优化算法（加入“是否交换”的标志），可提前终止，时间复杂度为 ( O(n) )。

4. 希尔排序

   • 时间复杂度：( O(n^s) )（( 1 < s < 2 )，通常取 ( s \approx 1.3 )）
   • 细节：时间复杂度与增量序列的选择密切相关，目前没有精确的数学表达式。常用的增量序列（如希尔增量 ( n/2, n/4,…,1 )）下约为 ( O(n^{1.5}) )，更优的增量序列（如Hibbard增量）可接近 ( O(n \log² n) )。

5. 快速排序

   • 时间复杂度：平均 ( O(n \log n) )，最坏 ( O(n²) )
   • 细节：理想情况下，每次划分能将数组分为大致相等的两部分，递归深度为 ( \log n )，每轮遍历数组耗时 ( O(n) )，总复杂度为 ( O(n \log n) )；最坏情况（数组有序或所有元素相等）下，每次划分只能减少一个元素，递归深度为 ( n )，复杂度退化为 ( O(n²) )（可通过随机选择基准元素优化）。

6. 堆排序

   • 时间复杂度：( O(n \log n) )
   • 细节：建堆过程耗时 ( O(n) )，之后每次弹出堆顶元素并调整堆的操作耗时 ( O(\log n) )，共执行 ( n ) 次，总复杂度为 ( O(n \log n) )，且最好、最坏情况均为此值，稳定性优于快速排序。

7. 归并排序

   • 时间复杂度：( O(n \log n) )
   • 细节：采用分治思想，递归将数组分为两半，合并过程耗时 ( O(n) )，递归深度为 ( \log n )，总操作次数为 ( O(n \log n) )，且不受数组初始状态影响，最好、最坏情况一致。

二、时间复杂度对比总结

排序类型	平均时间复杂度	最坏时间复杂度	最好时间复杂度	适用场景
直接插入排序	( O(n²) )	( O(n²) )	( O(n) )	小规模数据或接近有序的数据
简单选择排序	( O(n²) )	( O(n²) )	( O(n²) )	数据量小，对交换次数敏感时
冒泡排序	( O(n²) )	( O(n²) )	( O(n) )	教学演示或几乎有序的数据
希尔排序	( O(n^{1.3}) )	( O(n²) )	( O(n \log n) )	中等规模数据，优于简单排序
快速排序	( O(n \log n) )	( O(n²) )	( O(n \log n) )	大规模数据，平均性能最优
堆排序	( O(n \log n) )	( O(n \log n) )	( O(n \log n) )	大规模数据，需稳定时间复杂度
归并排序	( O(n \log n) )	( O(n \log n) )	( O(n \log n) )	需稳定排序或外部排序（内存有限时）

通过以上分析可以看出，简单排序（插入、选择、冒泡）适用于小规模数据，而高级排序（快速、堆、归并）在大规模数据下效率更优，其中归并排序是唯一稳定的 ( O(n \log n) ) 级算法。

排序方法	平均时间复杂度	最坏时间复杂度	空间复杂度	稳定性
直接插入	O(n²)	O(n²)	O(1)	稳定
简单选择	O(n²)	O(n²)	O(1)	不稳定
冒泡排序	O(n²)	O(n²)	O(1)	稳定
希尔排序	O(n log n) 左右（与步长序列有关）	O(n²)	O(1)	不稳定
快速排序	O(n log n)	O(n²)	O(log n)	不稳定
堆排序	O(n log n)	O(n log n)	O(1)	不稳定
归并排序	O(n log n)	O(n log n)	O(n)	稳定

说明

1. 希尔排序的复杂度与所选步长序列相关，常见序列（如 Sedgewick、Hibbard）下平均约为 O(n log² n)～O(n^(4/3))，最坏仍可到 O(n²)。
2. 快速排序最坏情况（已接近有序且枢轴选择不佳）退化到 O(n²)，但平均仍保持 O(n log n)。
3. 空间复杂度指算法除输入外所需的额外空间；归并排序因需辅助数组，空间为 O(n)。

快速排序的时间复杂度根据不同情况有所区别：

• 平均时间复杂度：( O(n \log n) )
  这是快速排序最常见的情况。在理想状态下，每次选择的基准元素能将数组均匀地分成两部分，递归深度为 ( \log n )，每一层的比较和交换操作总耗时为 ( O(n) )，因此整体复杂度为 ( O(n \log n) )。

• 最坏时间复杂度：( O(n^2) )
  当数组已经有序（正序或逆序），或者所有元素都相同时，如果选择最左或最右元素作为基准，每次划分只能将数组分成一个空集和一个包含 ( n-1 ) 个元素的子集，递归深度变为 ( n )，此时时间复杂度退化为 ( O(n^2) )。不过，通过随机选择基准元素或三数取中法（选择左端、中间、右端三个元素的中位数作为基准），可以有效避免这种最坏情况，实际应用中快速排序的性能通常接近平均复杂度。

• 最好时间复杂度：( O(n \log n) )
  当每次划分都能将数组完美地分成大小接近的两部分时，达到最好情况，时间复杂度与平均情况一致。

总体来说，快速排序是实践中平均性能最优的排序算法之一，尤其适合处理大规模数据。