扩展欧几里得

最新推荐文章于 2025-04-14 17:25:35 发布

浪漫些许潦草

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分类专栏： # -----基础算法----- # 扩展欧几里得文章标签：扩展欧几里德

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本文详细介绍了扩展欧几里德算法，该算法保证了对于任意非负整数a和b（不全为0），存在整数x和y使得a*x+b*y等于a和b的最大公约数。通过递归方式求解x和y的具体值，并给出了核心代码实现及应用实例。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

扩展欧几里德定律：

对于不完全为0的非负整数a，b，gcd(a, b)表示a, b的最大公约数，必定存在整数对x，y，满足a*x+b*y==gcd(a, b)。

证明：(转)

a*x1+b*y1=gcd(a, b);

b*x2+(a%b)*y2=gcd(b, a%b);

因为由欧几里德定理知：gcd(a, b)==gcd(b, a%b)

所以a*x1+b*y1=b*x2+(a%b)*y2; 　　因为r=a%b, r =a-k*b所以==>

a*x1+b*y1=b*x2+(a-k*b)*y2; 　　因为k=a/b;所以　==>

a*x1+b*y1=b*x2+(a-(a/b)*b)*y2; 　　展开得到　　 ==>　　　　

a*x1+b*y1=b*x2+a*y2-b*(a/b)*y2;　　转换得到 ==>

a*x1+b*y1=a*y2+b*(x2-(a/b)*y2);

观察上式可知 x1=y2, y1=x2-a/b*y2;

由此可知x1，y1是由x2，y2得出来的，由此类推x2，y2是由x3，y3得出来的，

那什么时候是终止呢？也就是递归gcd(a, b)中b=0时；也就是说此时a的值就是要求得最大公约数

即gcd(a, 0)此时由扩展欧几里得定律a*x+b*y==gcd(a, b)

知 a*x+b*y=a;

解出x=1, y=0;

此时就是递归终止的地方

核心代码：

void extend_gcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{
    if(!b)
    {
        x=1,y=0;
        return ;
    }
    else
    {
        extend_gcd(a,a%b,x,y);
        LL temp=x;
        x=y;
        y=temp-a/b*y;
    }
}

实例：poj 1061 青蛙的约会
题解：http://blog.youkuaiyun.com/blesslzh0108/article/details/65936898