平方和级数求和

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#数学-Z变换

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证明函数的 $∑i=0i=ni2=n(2n+1)(n+1)6\sum_{i=0}^{i=n}i^2=\frac{n(2n+1)(n+1)}{6}$

用差分方程解释：
$y(n)-y(n-1)=n^2$
$y(n-1)-y(n-2)=(n-1)^2$
$y(n-2)-y(n-3)=(n-2)^2$
…
$y(3)-y(2)=3^2$
$y(2)-y(1)=2^2$
$+...+y(3)-y(2)+y(2)-y(1)=y(n)-y(1)=2^2+3^2 +4^2+...+n^2\rightarrow y(n)=\sum_{i=1}^{i=n}i^2$
所以只要求解出差分方程的解即可得到所求的平方和，如下求解
$y(n)-y(n-1)=n^2$
两边进行Z变换 $→Y(Z)(1−Z−1)=2(Z−1)3→Y(Z)=2Z(Z−1)4\rightarrow Y(Z)(1-Z^{-1})=\dfrac{2}{(Z-1)^3}\rightarrow Y(Z)=\dfrac{2Z}{(Z-1)^4}$
留数法求解多重极点的Z反变换：
$Y(Z)=Z2(Z−1)(Z−1)4→Y(Z)=[Z2(Z−1)(Z−1)4(Z−1)4Zn−1]′′′/3!=(Z2(Z−1))′′′3!=n(2n+1)(n+1)6Y(Z)=\dfrac{Z^2(Z-1)}{(Z-1)^4}\rightarrow Y(Z)={[\dfrac{Z^2(Z-1)}{(Z-1)^4}(Z-1)^4Z^{n-1}]}\prime\prime\prime/3!=\dfrac{(Z^2(Z-1))\prime\prime\prime}{3!}=\dfrac{n(2n+1)(n+1)}{6}$