ABC400F - Happy Birthday! 3 题解

ABC400F - Happy Birthday! 3 题解

题意

有一个被切成 $n$ 份的生日蛋糕，现在需要将其染色，用颜色 $c$ 将一个长度为 $b$ 的区间染色的代价为 $b+X_c$ , 求将所有蛋糕染成指定颜色 $C_i$ 的最小代价。

思路

区间DP.

设 $f_{l,r}$ 为从位置 $l$ 到位置 $r$ 全部染色完毕所需的代价。因为蛋糕是环形的，所以我们将原 $C$ 数组倍长，即可表示从任意一个位置转一圈所得的区间（如图）

于是，我们只要通过区间DP算出倍长后数组中所有长度为 $n$ 的区间的代价，就可以求出将整块蛋糕染色的总代价了。

考虑区间 $[l,r]$ .

• 容易知道它可以被划分为两个区间分别染色，可以枚举中间点进行转移。

• 另外，当 两端目标颜色相同，即 $C_l=C_r$ 时:

• 注意到可以先将整个区间 $[l,r]$ 染色为 $C_l$，然后对其他颜色与 $C_i$ 不相同的区间进行单独染色,下文称它们为“特殊区间”。

• 于是想到列举出所有特殊区间，再计算对这些区间进行染色的代价。

• 定义 $g_i$ 为将前 $i$ 个特殊区间染色所需的最小代价。

• 假设考虑到了第 $i$ 个特殊区间

• • 因为是对连续区间染色，所以可以枚举要对从后往前几个特殊区间同时进行染色，再进行转移。

如果觉得我有什么没有描述清楚的话，可以看代码。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long 
using namespace std;
const int INF=1e12;
int f[810][810];
int c[410];
int x[410];
int g[410];
int cal(int l,int r){
	vector<pair<int,int> >rg;//记录特殊区间的数组
	rg.push_back({0,0});
	int nl=-1,nr=-1;
	for(int i=l;i<=r;i++){
		if(c[i]!=c[l]){
			nr=i;
			if(nl==-1)nl=i;
		}else{
			if(nr!=-1&&nl!=-1){
				rg.push_back({nl,nr});
			}
			nl=nr=-1;
		}
	}//列举所有特殊区间。[rg[i].first,rg[i].second]
	for(int i=1;i<rg.size();i++){
		g[i]=INF;
		for(int j=1;j<=i;j++){
			g[i]=min(g[i],g[j-1]+f[rg[j].first][rg[i].second]);
    //处理前 j-1个 特殊区间 的 代价 与 处理 后边 特殊区间 所在的 区间 所需要的 代价之和
		}
	}//g[i]转移
	return g[rg.size()-1];
}
signed main(){
	memset(f,0x3f,sizeof(f));
	int n;
	scanf("%lld",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%lld",&c[i]);
		c[n+i]=c[i];
	}//因为是圆形，所以重复一遍
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%lld",&x[i]);
	}
	for(int i=1;i<=n+n;i++){
		f[i][i]=x[c[i]]+1;
	}
	for(int len=2;len<=n;len++){
		for(int l=1;l+len-1<=n+n;l++){
			int r=l+len-1;
			for(int mid=l;mid<r;mid++){//将整个区间拆分成两个区间进行染色
				f[l][r]=min(f[l][r],f[l][mid]+f[mid+1][r]);
			}
			if(c[l]==c[r]){//端点颜色一样，尝试先整体染色，后分区域染色。
				f[l][r]=min(f[l][r],len+x[c[l]]+cal(l,r));
			}
		} 
	}
	int ans=INF;
	for(int i=1;i<=n;i++){//枚举以每个位置作为起点开始染色的代价
		ans=min(ans,f[i][n+i-1]);
	} 
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}