ABC399F - Range Power Sum 题解

题意

给定  和长度为  的序列  ,求:

$$
\sum_{1\le l\le r\le n} (\sum_{l\le i\le r}A_i)^k
$$

思路

DP+推式子+二项式定理。

假设：

$$
S_i=\sum_{i=1}^n A_i 
$$

$$
f_{i,B}=\sum_{l=1}^i(S_i-S_{l-1})\\
=\sum_{l=1}^{i-1}(S_i-S_{l-1})^B+(S_i-S_{i-1})^B\\
=\sum_{l=1}^{i-1}(S_{i-1}-S_{l-1}+A_i)^B+A_i^B\\
$$

即答案为：

$$
\sum_{i=1}^n f_{i,B}
$$

由二项式定理，得：

$$
\sum_{l=1}^{i-1}(S_{i-1}-S_{l-1}+A_i)^B\\
=\sum_{l=1}^{i-1}\sum_{k'=0}^B\text{C}^{k'}_BA_i^{(B-k')}(S_{i-1}-S_{l-1})^{k'}\\
=\sum_{k'=0}^B\text{C}^{k'}_BA_i^{(B-k')}\sum_{l=1}^{i-1}(S_{i-1}-S_{l-1})^{k'}\\
=\sum_{k'=0}^B\text{C}^{k'}_BA_i^{(B-k')}f_{i-1,k'}\\
$$

计算