【套题】2015ACM/ICPC亚洲区长春站 HDU5532 5533 5534 5536 5538

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本文精选了几道典型的算法题目，包括判断数组是否接近有序、验证点集能否构成正多边形、构建部分树的最大价值、计算芯片工厂的最大异或值及求立方体堆积的表面积。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

水几个题，熟悉一下键盘。。。
$HDU5532\ Almost\ Sorted\ Array$
题意： $ASA$ 定义为，仅去掉一个( $One\ and\ Only\ One$ )元素后数组是非降序或者非升序。
题解：很明显，判断一个序列是否有序可以通过判断其 $Longest\ NonDecreasing\ Subsquence$ 或者 $Longest\ NonIncreasing\ Subsquence$ 是否等于序列长度来得到。

/* **********************************************

    File Name: test.cpp

    Auther: zhengdongjian@tju.edu.cn

    Created Time: 2015/11/1 12:34:01

*********************************************** */
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
typedef pair<int, int> P;

const int INF = 0xfffffff;
const int MAX = 100007;
int a[MAX];
int dp[MAX]; //dp[i] length is i min

int inc(int n) {
    fill(dp, dp + n + 1, INF);
    dp[0] = -INF;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        int sz = upper_bound(dp, dp + i, a[i]) - dp;
        //printf("get %d\n", sz);
        dp[sz] = a[i];
    }
    for (int i = n; i >= 1; --i) {
        if (dp[i] < INF) {
            return i;
        }
    }
    return 0;
}

int dec(int n) {
    reverse(a + 1, a + n + 1);
    return inc(n);
}

int main() {
    int T, n;
    scanf(" %d", &T);
    while (T--) {
        scanf(" %d", &n);
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            scanf(" %d", a + i);
        }
        puts((inc(n) >= n - 1 || dec(n) >= n - 1) ? "YES" : "NO");
    }
    return 0;
}

$HDU5233\ Dancing\ Stars\ on\ Me$
题意：求一堆点是否构成一个正 $n$ 边形
题解：求凸包，判断一下→
- 凸包顶点个数是否为 $n$
- 凸包所有边是否等长

/* **********************************************

  File Name: 5533.cpp

  Auther: zhengdongjian@tju.edu.cn

  Created Time: 2015年11月02日 星期一 20时33分46秒

*********************************************** */
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
typedef pair<int, int> P;

const double INF = FLT_MAX;
const double EPS = 1e-8;
const double PI = acos(-1.0);
const int MAX = 107;

inline int sign(double x) {
    if (fabs(x) < EPS) return 0;
    if (x > 0.0) return 1;
    return -1;
}

struct Point {
    double x, y;
    Point() {}
    Point(double _x, double _y): x(_x), y(_y) {}
    Point operator-(const Point& ne)const {
        return Point(x - ne.x, y - ne.y);
    }
    Point operator+(const Point& b)const {
        return Point(x + b.x, y + b.y);
    }
    Point operator*(const double t)const {
        return Point(t * x, t * y);
    }
    Point operator/(const double t)const {
        if (sign(t) == 0) return Point(INF, INF);
        return Point(x / t, y / t);
    }
    double operator^(const Point& b)const {
        return (x - b.x) * (x - b.x) + (y - b.y) * (y - b.y);
    }
} ping[MAX];

struct Polygon {
    Point p[MAX];
    int n;
} ans;

inline double xmult(Point o, Point a, Point b) {
    return (a.x - o.x) * (b.y - o.y) - (b.x - o.x) * (a.y - o.y);
}

bool cmp(const Point& a, const Point& b) {
    return a.x < b.x || (sign(a.x - b.x) == 0 && a.y < b.y);
}

void convex_hull(Point p[MAX], int n, Polygon& res) {
    res.n = 0;
    sort(p, p + n, cmp);
    int i, j, top;
    for (i = 0, top = 0; i < n; ++i) {
        while (top > 1 && xmult(res.p[top - 2], res.p[top - 1], p[i]) < EPS) {
            --top;
        }
        res.p[top++] = p[i];
    }
    j = top;
    for (i = n - 2; i >= 0; --i) {
        while (top > j && xmult(res.p[top - 2], res.p[top - 1], p[i]) < EPS) {
            --top;
        }
        res.p[top++] = p[i];
    }
    res.n = top - 1;
}

int main() {
    int T, n;
    scanf(" %d", &T);
    while (T--) {
        scanf(" %d", &n);
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            scanf(" %lf %lf", &ping[i].x, &ping[i].y);
        }
        convex_hull(ping, n, ans);
        if (n < 3 || ans.n != n) {
            puts("NO");
            continue;
        }
        double leng = ans.p[0] ^ ans.p[n - 1];
        bool flag = true;
        for (int i = 0; i < n - 1; ++i) {
            if (sign((ans.p[i] ^ ans.p[i + 1]) - leng)) {
                flag = false;
                break;
            }
        }
        puts(flag ? "YES" : "NO");
    }
    return 0;
}

$HDU5534\ Partial\ Tree$
题意： $n$ 个点连成一棵树，对某个顶点 $v$ ，若其度为 ${deg}_{v}$ ，则价值为 $f_{{deg}_{v}}$
题解： $n$ 个点， $n-1$ 条边，共有 $2*n-2$ 个度需要分配。可以证明，首先对每个顶点赋一个度，将剩余的 $n-2$ 个度任意分配给剩下的顶点，均可以得到一棵树。我们可以简单地反证一下~
- 对每个顶点，最少可能分配到 $1$ 个度，最多可能分配到 $1 + (n - 2) = n - 1$ $1+(n-2)=n-1$ 个度，这是满足任意一个顶点的度的限制条件 $1\le {deg}_{v}\le {n-1}$ 的。
- 2∗n−2 个度分配完后，我们可以开始两两顶点连边，每连一条边，二者的度分别减 1 ，先不考虑是否会造成环，那么
  - ① 当仅剩 $2$ 个度时，将对应的两个点连一条边，即完成连边
  - ② 当多余 $2$ 个度时，假设剩余 $k$ 个度，只需要任意选择两个度还没用完的点连接起来，就可以达到度剩余 $k-2$ 的局面
- 由①②可知，恰好可以连出 $2 * n - 2 2 = n - 1$ ${{2*n-2}\over{2}}={n-1}$ 条边。此时，根据我们开始的分配，没有任何一个点是没有连至少一条边的，于是不可能存在孤立顶点；另外，，，，窝好像不能证明整个图的连通性鸭(；′⌒`)。。。
- 于是可以换一个方向考虑，窝们考虑一个放射形图案，一个点度为 $n-1$ ，作为根，其他所有点都是它的孩子，此时为 $1+1+\dots +\left(n-1\right)$ 的组合，将一个点拿下，连到其它点上，变成 $1+1+\dots+2+\left(n-2\right)$ 的组合，相当于最后的 $n-2$ 个度分了 $1$ 个出去，如此下去，可以达到将 $n-2$ 分解的任何一种组合。
题解续：做完上述分析，我们就可以先考虑一个简化版本了。容量为 $n-2$ 的背包，有 $n-1$ 件物品，分别为大小为 $i$ ，价值为 $f_i$ ，有无限多个，问装满背包最大获得价值为多少。

/* **********************************************

  File Name: 5534.cpp

  Auther: zhengdongjian@tju.edu.cn

  Created Time: 2015/11/3 22:22:19

*********************************************** */
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef pair<int, int> P;

const int INF = 0xfffffff;
const int MAX = 2018;
vector<P> bag;
int dp[MAX];
int f[MAX];
int m;

void push(int weight, int value) {
    for (int i = 1; i * weight <= m; i <<= 1) {
        bag.push_back(P(weight * i, value * i));
        //printf("push (%d, %d)\n", weight * i, value * i);
    }
}

int main() {
    int T, n;
    scanf(" %d", &T);
    while (T--) {
        bag.clear();
        scanf(" %d", &n);
        m = n - 2;
        for (int i = 1; i < n; ++i) {
            scanf(" %d", f + i);
        }
        int ans = n * f[1];
        for (int i = 2; i < n; ++i) {
            push(i - 1, f[i] - f[1]);
        }
        sort(bag.begin(), bag.end());
        unique(bag.begin(), bag.end());
        fill(dp, dp + m + 1, -INF);
        dp[0] = 0;
        for (int i = 0; i < bag.size(); ++i) {
            for (int j = m; j >= bag[i].first; --j) {
                if (dp[j - bag[i].first] + bag[i].second > dp[j]) {
                    dp[j] = dp[j - bag[i].first] + bag[i].second;
                }
            }
        }
        printf("%d\n", dp[m] + ans);
    }
    return 0;
}

$HDU5536\ Chip\ Factory$
题意：问最大的 $(s i + s j) \oplus s k$ $\left({s_i}+{s_j}\right) \oplus {s_k}$
题解：将所有数归一化为 $32\ bit$ 的串，建立 $Trie$ 树求解即可。复杂度 $log(n^2)*n$

/* **********************************************

  File Name: 5536.cpp

  Auther: zhengdongjian@tju.edu.cn

  Created Time: 2015/11/3 21:38:44

*********************************************** */
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const ll MAX = 1LL << 32;
const int CNT = 1024;
int a[CNT];

struct Node {
    Node* son[2];
    int cnt;
    Node(int _x = 0): cnt(_x) {
        son[0] = son[1] = NULL;
    }
};

void insert(Node* T, int x) {
    for (ll ck = MAX; ck > 0; ck >>= 1) {
        int idx = (x & ck) > 0 ? 1 : 0;
        if (T->son[idx] == NULL) {
            T->son[idx] = new Node();
        }
        ++(T->son[idx]->cnt);
        T = T->son[idx];
    }
}

void remove(Node* T, int x) {
    for (ll ck = MAX; ck > 0; ck >>= 1) {
        int idx = (x & ck) > 0 ? 1 : 0;
        --(T->son[idx]->cnt);
        T = T->son[idx];
    }
}

void clear(Node* T) {
    if (T == NULL) {
        return;
    }
    for (int i = 0; i < 2; ++i) {
        clear(T->son[i]);
    }
    delete T;
}

int gao(Node* T, int x) {
    int res = 0;
    for (ll ck = MAX; ck > 0; ck >>= 1) {
        int idx = (x & ck) > 0 ? 1 : 0;
        res <<= 1;
        if (T->son[idx ^ 1] != NULL && T->son[idx ^ 1]->cnt > 0) {
            T = T->son[idx ^ 1];
            res |= idx ^ 1;
        } else {
            T = T->son[idx];
            res |= idx;
        }
    }
    return res;
}

int main() {
    int T, n;
    scanf(" %d", &T);
    while (T--) {
        scanf(" %d", &n);
        Node* T = new Node();
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            scanf(" %d", a + i);
            insert(T, a[i]);
        }
        int ans = 0;
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            remove(T, a[i]);
            for (int j = 0; j < n; ++j) {
                if (j == i) continue;
                remove(T, a[j]);
                int res = gao(T, a[i] + a[j]);
                //printf("remove %d, %d, get %d\n", a[i], a[j], res);
                ans = max(ans, res ^ (a[i] + a[j]));
                //ans = max(ans, gao(T, a[i] + a[j]));
                insert(T, a[j]);
            }
            insert(T, a[i]);
        }
        clear(T);
        printf("%d\n", ans);
    }
    return 0;
}

$HDU5538\ House\ Building$
题意：一坨物体放在地上，求表面积，当然，是放在地上，底面就不算。。。
题解：考虑每个方块的顶面，以及四个侧面即可(如对右侧面，计入的面积应为 $max(0, a_{i,{j+1}}-a_{i,j})$ )，其中顶面面积恒为1。注意考虑该方块不存在时的情况，此时顶面面积为0。

/* **********************************************

  File Name: 5538.cpp

  Auther: zhengdongjian@tju.edu.cn

  Created Time: 2015年11月02日 星期一 20时31分00秒

*********************************************** */
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
typedef pair<int, int> P;

const int MAX = 64;
int a[MAX][MAX];

int main() {
    int T, n, m;
    scanf(" %d", &T);
    while (T--) {
        scanf(" %d %d", &n, &m);
        memset(a, 0, sizeof(a));
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            for (int j = 1; j <= m; ++j) {
                scanf(" %d", &a[i][j]);
            }
        }
        int sum = 0;
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            for (int j = 1; j <= m; ++j) {
                if (a[i][j] > 0) ++sum;
                sum += max(0, a[i][j] - a[i - 1][j]);
                sum += max(0, a[i][j] - a[i][j - 1]);
                sum += max(0, a[i][j] - a[i + 1][j]);
                sum += max(0, a[i][j] - a[i][j + 1]);
            }
        }
        printf("%d\n", sum);
    }
    return 0;
}