取整函数相关

$\tau(n)$表示n的因子个数
可在$O(n\log n)$时间内求出前n项或在$O(sqrt(n))$时间内求第n项

for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;i*j<=n;j++)
            sigma[i*j]+=1;

感觉取整函数貌似与$\tau(n)$有不解之缘

下面的东西的具体证明我还不会，等会了再来更新
给大家推荐一个网站，你给他一个数列他能告诉你这是什么数列，还有这个数列的求法什么的

ceil

$$f(n) = \sum_{i=1}^{n} \lceil \frac{n}{i}\rceil$$
$$f(n) = 1 + f(n-1) + \tau (n-1)$$

---

floor

$$g(n) = \sum_{i=1}^{n} \lfloor \frac{n}{i}\rfloor = \sum_{i=1}^{n}\tau(i)\\=f(n)+\tau(n)-n$$

---

一种求$f(n),g(n)$的前n项的方法是枚举n，然后利用分段优化来求每一项
代码如下：
两个代码类似

for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1,nex;j<=i;j=nex+1)
    {
         nex = i/(i/j);
         f[i] +=(nex-j+1)*(i/j);
    }

for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=i,nex;j>=1;j=nex-1)
    {
         tmp = i/j;
         if(i%j) tmp++;
         nex = i/tmp;
         if(i%tmp) nex++;
         g[i] +=(j-nex+1)*tmp;
    }

上面的两个代码复杂度是$O(n \sqrt n)的$
不过利用上述的递推式加上$\tau(n)$的求法可以在$O(n\log n)$得到$f(n)、g(n)$的前n项