区间动态规划详解

前段时间遇到石子合并问题，看着题解A了，以为学会了区间DP，再次遇到能量项链这个问题的时候大脑还是一片空白，只能重新认识一下区间动态规划了。

翻过很多博客，基本上都是题解，真正对区间动态规划本身的讲解几乎没有，可能是我没找到吧。

区间动态规划，顾名思义，就是动态规划过程中求一个区间的最优解。通过将一个大的区间分为很多个小的区间，求其小区间的解，然后一个一个的组合成一个大的区间而得出最终解，有没有发现，这完全就是分治的思想。

动态规划三部曲：

1.状态：用dp[i][j]表示区间(i,j)的最优解

2.状态转移：

    最常见的写法：     dp[i][j]=max/min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]+something)

    理解：区间（i，j）的最优解就等于 区间（i,j）   同 (i,k)和区间（k+1,j）合并后的值   比谁更优。

3.初始化： dp[i][i]=0/other (i=1->n)

 为什么这么做呢？很好理解，就是只包含自己本身的时候，也就是区间长度为1，值肯定是确定的。

怎么从小到大的合并区间呢？

有两种最常见的写法：

第一种：

 for(r=2;r<=n;r++)//r：区间右端点，l:区间左端点
        for(l=r-1;l>=1;l--)
            for(k=l;k<r;k++)
                dp[l][r] = max/min(dp[l][r],dp[l][k]+dp[k+1][r]+something);

第二种：

for (int len=2;len<=n;len++)//len：长度 ,l：左区间断点，r：又区间端点
    for (int l=1;l+len-1<=n;l++) //保证(l,r)的长度为len，且不越界
    {
        int r=l+len-1;
        for (int k=l;k<=r;k++)
            dp[l][r]=max/min(dp[l][r],dp[l][k]+dp[k+1][r]+something)
    }

第一种是个人比较喜欢也是很容易想到的。理解起来很简单：遍历以r为终点，从1到r的所有子区间。

这种做法的一个好处就是dp[l][r]存的一定是r为右区间的每一步的最优解。

第二种是用的人数最多的。 理解：从区间长度为2–n，每次遍历固定长度的区间。比如，len=2时，遍历（1,2）（2,3）…（n-1,n）。这样也能遍历完所有的情况。

当然还有其他写法，例如：

	for (int len=1;len<=n;len++) //枚举长度
        for (int l=1;l<n-len;l++) //从第i个石子开始
            for (int j=l;j<l+len;j++)
                dp[l][l+len]=max(dp[l][l+len],dp[l][j]+dp[j+1][l+len])+somethong;

思维都大同小异，只要保证是从小区间遍历到大区间就没问题。