【动态规划】区间动态规划

zhouziyi0701

已于 2022-09-02 13:44:33 修改

阅读量874

点赞数 1

分类专栏：刷题笔记文章标签：动态规划算法 c++

于 2022-09-01 11:15:34 首次发布

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/gzkeylucky/article/details/126633596

版权

本文介绍了动态规划中的区间DP，包括环形区间合并问题、线性区间合并问题和回文串区间处理问题。通过具体的例题解析，详细阐述了各种问题的解题思路和解决方案，涉及石子合并、能量项链、248 G等经典题目。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

知识点

一 . 区间DP

区间DP属于线性DP的一种，以区间长度作为DP的阶段，以区间的左右端点作为状态的维度。一个状态通常由被它包含且比它更小的区间状态转移而来。阶段（长度）、状态（左右端点）、决策三者按照由外到内的顺序构成三层循环。

一般解法

dp[i][j]表示区间i到j上的最优解
从小到大求出所有区间的最优解，具体通过从小到大遍历区间长度和左端点实现
这是区间dp的最基本的特征或者套路。

比较特殊的还有一种操作方法：

用k将区间i到j分割为两个部分，通过这两个部分求最优解。这其实也是划分子问题的常用方法。

一 . 环形区间合并问题

例题：洛谷 P1880 [NOI1995] 石子合并

题目描述

在一个圆形操场的四周摆放 N 堆石子，现要将石子有次序地合并成一堆，规定每次只能选相邻的 2 堆合并成新的一堆，并将新的一堆的石子数，记为该次合并的得分。

试设计出一个算法,计算出将 N 堆石子合并成 1 堆的最小得分和最大得分。

输入格式

数据的第 1 行是正整数 N，表示有 N 堆石子。

第 2 行有 N 个整数，第 i 个整数 $a_i$ 表示第 i 堆石子的个数。

输出格式

输出共 2 行，第 1 行为最小得分，第 2 行为最大得分。

输入输出样例

输入 #1

4
4 5 9 4

输出 #1

43
54

说明/提示

$1\leqslant N\leqslant 100$ ， $0\leqslant a_i\leqslant 20$ 。

思路：因为在一个圆形操场上，所以可以出现每一个数据都可以成为开头的情况，所以需要将环形数据展开形成一条链。

因此，输入样例可以变成一条链，红框表示环转换成链前，可能出现的大区间情况，即哪个点作为起点。

设dp[l][r]为石子合并的总方法，下标 l 表示从节点 l 进行合并，下标 r 表示从 l 开始数 i 堆进行合并操作，代码中循环下标 j 表示 l 到 r 存在 j 种合并方式。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
int n;
const int INF=0x3f3f3f3f;
int dp_max[205][205],dp_min[205][205],a[205],sum[20

最低0.47元/天解锁文章