7、FIR滤波器设计与希尔伯特变换器的深入解析

FIR滤波器设计与希尔伯特变换器的深入解析

1. 提升阻带衰减

为了提升阻带衰减，需要指定一个过渡带，在其中设置一个或多个频率样本，其幅度可以设定为任意必要值，以优化阻带衰减。下面通过具体例子来说明这一原理。

1.1 示例设计

设计一个滤波器，其通带截止频率 $\omega_p = 0.5\pi$，阻带截止频率 $\omega_s = 0.6\pi$，且过渡带中有一个频率样本。通过编程改变过渡带频率样本的幅度，并观察阻带衰减的变化。

归一化频率为 0.5、0.55 和 0.6 的频率样本将定义通带和阻带的边界，过渡带中有一个样本。对于奇数长度的滤波器，归一化样本频率为 $2([0:1:M])/L$，其中 $M = (L - 1)/2$；对于偶数长度的滤波器，为 $2([0:1:(L/2 - 1)])/L$。弧度频率的样本间隔为 $2\pi/L$，归一化频率则为 $2/L$。

由于样本必须以归一化频率间隔 $2/L$ 等间隔分布，可得滤波器长度 $L = 2/0.05 = 40$。频率规格必须覆盖从 0 到 $L/2 - 1 = 19$ 的频段（对于偶数长度的滤波器，频段 $L/2$ 始终为 0，因此不指定），以及频段 -1 到 -19，其幅度与频段 1 到 19 相同。正频段的通带从频段 0 到频段 10，接着是变量 $T$，表示过渡带样本的幅度，以及若干零值以填充阻带至样本 $L/2 - 1$。

以下代码使用余弦求和公式来获取每个 $A_k$ 的滤波器脉冲响应：

function LVOptCoeffLPF(L,wp,ws,THi,TLo,Dec