45、多项式正规因式分解的混合方法及压电陶瓷有限元结构矩阵的计算机代数形成

多项式正规因式分解的混合方法及压电陶瓷有限元结构矩阵的计算机代数形成

在代数计算领域，“近似最大公约数（GCD）”和“近似正规因式分解”的概念具有重要意义。下面将详细介绍相关内容。

近似最大公约数（GCD）

多个多项式的GCD计算具有非一般性的特点，存在非平凡GCD（不等于1）的多项式集合测度为零。然而，在许多应用中，定义“近似零”和“近似GCD”的需求十分重要。一些计算GCD的方法，通过放宽GCD评估的精确条件，能得出“近似GCD”的表达式。

近似GCD算法步骤 ：
1. 定义阈值并确定近零空间基 ：定义一个阈值t > 0，对由给定多项式集合构造的西尔维斯特矩阵S∗应用奇异值分解（SVD）算法，定义其右“近零空间”的基M。
2. 定义GCD矩阵束 ：定义GCD矩阵束Z(s) = sM1 - M2，其中M1和M2分别是从M中删除最后一行和第一行得到的矩阵。
3. 构造矩阵并计算其基 ：构造一个元素为Z(s)所有非零子式行列式d(s)的矩阵，并计算其基B。
4. 应用SVD算法确定近似GCD ：对矩阵B应用SVD算法：B = U T Σ V。V中对应最大奇异值的列定义了近似GCD。
5. 计算空间夹角评估近似强度 ：计算M1和M2空间的夹角，作为近似强度的指标。

示例1 ：考虑多项式集合{p1(s) = s3 - 6s2 + 11s - 6, p