12、统计推断方法全解析：贝叶斯、最大似然与 EM 算法

统计推断方法全解析：贝叶斯、最大似然与 EM 算法

在统计学领域，准确地进行参数估计和模型选择是至关重要的任务。接下来，我们将深入探讨几种常见的统计推断方法，包括贝叶斯推断、最大似然估计以及期望最大化算法，详细介绍它们的原理、应用和特点。

贝叶斯推断

贝叶斯推断是一种基于贝叶斯定理的统计推断方法，它结合了先验信息和样本数据，以更新对参数的信念。

离散参数评估

在研究参数 $\theta$ 的评估时，我们使用不同的 $d$ 值来展示评估点数量对研究的影响。具体设置如下表所示：
| 行 | $d$ 值 | 列 1 样本大小 $n$ | 列 2 样本大小 $n$ |
| — | — | — | — |
| 1 | 5 | 5 | 20 |
| 2 | 20 | 5 | 20 |
| 3 | 50 | 5 | 20 |

从结果来看，随着 $d$ 值的增大，估计的后验分布变得越来越平滑，并且与解析解的结果非常相似。这表明，对于较大的 $d$ 值，数值解与解析解具有相当的效果。值得注意的是，在我们的例子中，$d$ 不需要非常大就能得到合理的结果，即使 $d = 5$ 也能给出有意义的近似。

然而，数值解也存在一定的缺点，即通常需要更多的时间。因为在许多不同的参数点上都需要评估似然函数和先验分布。对于一维问题，这可能不是问题，但对于高维问题，计算量会变得非常大。不过，针对这种情况，已经开发出了先进的蒙特卡罗方法。

离散贝叶斯推断的优势

与连续方法相比，离散贝叶斯推断在选择先验分布时具有更大的灵活性。例如，使用贝塔分布作为先验分布时，其形状