4、预测模型与误差度量：原理、实例与评估

预测模型与误差度量：原理、实例与评估

预测模型的统计特性

预测模型的输出往往并非固定值，而是一个随机变量。这是因为预测方法（M）对数据（D）进行预测得到的观测结果（R），会导致误差度量（E）呈现特定值。这里的误差度量值 E 是从分布 fR(M, D) 中抽取的，在统计学里，具有这种特性的变量就被称为随机变量。

那么，这种随机性究竟从何而来呢？从统计学可知，当一个确定性函数的输入为随机变量时，其输出也会是随机变量。具体来说，若变量 x 从分布 fx 中抽取，即 x ∼ fx，通过确定性函数 g：x → y 映射到 y，那么 y 同样是随机变量。

在预测模型中，由于方法（M）通常是固定的，所以随机性主要源于数据（D）。对于给定的数据集 D = {xi}ni=1（包含 n 个样本），每个数据点 xi 都从由实验（Ex）确定的分布中抽取，即 xi ∼ fD(Ex)。这意味着每个数据点 xi 测量的随机性会转化为误差度量 E 的随机性，这种随机性的传递适用于任何预测模型。

为了更直观地理解这一理论结果，下面通过一个数值例子进行说明。以 t 检验作为预测模型，生成均值 μ = 0.4、标准差 σ = 0.1 的正态分布数据，即 xi ∼ N(μ, σ)（i ∈ {1, …, n}，n 为样本大小）。我们要检验的假设如下：
- 原假设：总体均值为 0.5，即 μ = 0.5。
- 备择假设：总体均值不为 0.5，即 μ ≠ 0.5。

对两组不同数据 D1 和 D2 进行 t 检验，得到的 p 值分别为 p1 = 0.0084 和 p2 = 0.1607。可以发现，p1 和 p2 不仅数值不同，而且差异较大，p2 几乎是 p1 的 20