6、控制理论中的能量消失可控性与约束系统分析

控制理论中的能量消失可控性与约束系统分析

1. 能量消失可控性

1.1 系统轨迹与控制

考虑如下系统：
(\dot{y} 1 = Ay_1 + Bu)，(y_1(0) = x {10} = (x_0, \dot{x} 0, y_0, \dot{y}_0))
(\dot{y}_2 = Ay_2)，(y_2(0) = x {20})

对于轨迹 (y(t) = y_1(t) - y_2(t))，(t \geq 0)，有 (\dot{y} = Ay + Bu)，(y(0) = x_{10} - x_{20})。

根据定理 3.4，如果控制 (\tilde{u}(t) = -B^*P_{\epsilon}y(t))，(t \geq 0)，则有：
- (\lim_{t \to +\infty}y(t) = 0)
- (\int_{0}^{+\infty}|\tilde{u}(t)|^2 dt \leq \langle P_{\epsilon}(x_{10} - x_{20}), x_{10} - x_{20} \rangle)

这意味着对于较大的 (t > 0)，(y_1(t)) 几乎等于 (y_2(t))。选择较小的 (\epsilon > 0) 以及使 (\langle P_{\epsilon}(x_{10} - x_{20}), x_{10} - x_{20} \rangle) 最小的 (x_{10}) 和 (x_{20})，反馈控制 (\tilde{u}) 能以极小的能量实现几乎精确的转移。控制 (\tilde{u}(t) = -B^*P_{\e