2、经典控制理论中的可控性与可观测性

经典控制理论中的可控性与可观测性

在数学控制理论领域，可控性和可观测性是两个核心概念。本文将深入探讨线性系统中的这些概念，包括线性微分方程的基本信息、可控性矩阵的性质以及判断系统可控性的代数条件等内容。

1. 线性微分方程

经典控制理论的基本研究对象是由微分方程和观测关系描述的线性系统。其微分方程为：
[
\frac{dy}{dt} = Ay(t) + Bu(t), \quad y(0) = x \in \mathbb{R}^n
]
观测关系为：
[
w(t) = Cy(t), \quad t \geq 0
]
其中，线性变换 (A: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n)，(B: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n)，(C: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^k) 可以用矩阵表示，(\mathbb{R}^n)、(\mathbb{R}^m)、(\mathbb{R}^k) 中的元素用单列矩阵表示。(M(n, m)) 表示所有 (n) 行 (m) 列矩阵的集合，(I) 表示单位变换和单位矩阵。向量 (x, y \in \mathbb{R}^n) 的标量积和范数定义如下：
[
\langle x, y \rangle = \sum_{j=1}^{n} \xi_j \eta_j, \quad |x| = \left(\sum_{j=1}^{n} \xi_j^2\right)^{\frac{1}{2}}
]
线性变换 (A) 的伴随变换和矩阵 (A) 的转置矩阵用 (A^ ) 表示。若 (A = A^