希尔伯特空间与巴拿赫代数的若干命题证明

36、假设T和S是希尔伯特空间上的埃尔米特算子。证明TS是埃尔米特算子当且仅当TS = ST。

证明如下：

首先明确埃尔米特算子的定义，对于算子 $ A $，若 $ A = A^* $，则称 $ A $ 为埃尔米特算子。

充分性

若 $ TS = ST $，要证 $ TS $ 是埃尔米特算子，即证 $ (TS)^* = TS $。

根据算子伴随的性质 $ (AB)^ = B^ A^ $，可得
$$
(TS)^ = S^ T^
$$
因为 $ T $ 和 $ S $ 是埃尔米特算子，所以 $ T^ = T $，$ S^ = S $，那么
$$
(TS)^ = S^ T^* = ST = TS
$$
所以 $ TS $ 是埃尔米特算子。

必要性

若 $ TS $ 是埃尔米特算子，即 $ (TS)^ = TS $，又因为
$$
(TS)^ = S^ T^
$$
且 $ T^ = T $，$ S^ = S $，所以
$$
TS = (TS)^ = S^ T^* = ST
$$

结论

综上，$ TS $ 是埃尔米特算子当且仅当 $ TS = ST $。

37、设H为复内积空间，假设A : H → H是有界线性算子。证明 (Ax, y) 可以写成 1/4 [⟨A(x + y), x + y⟩ − ⟨A(x − y), x − y⟩ − i⟨A(x + iy), x + iy⟩ + i⟨A(x − iy), x − iy⟩]。

可根据内积和线性算子的性质进行证明：

1. 首先根据内积的性质展开各项：
   - 展开 ⟨A(x + y), x + y⟩：根据内积的线性性质，  
     ⟨A(x + y), x + y⟩ = ⟨Ax + Ay, x + y⟩ = ⟨Ax, x⟩ + ⟨Ax, y⟩ + ⟨Ay, x⟩ + ⟨Ay, y⟩。
   - 展开 ⟨A(x - y), x - y⟩：  
     ⟨A(x - y), x - y⟩ = ⟨Ax - Ay, x - y⟩ = ⟨Ax, x⟩ - ⟨Ax, y⟩ - ⟨Ay, x⟩ + ⟨Ay, y⟩。
   - 展开 ⟨A(x + iy), x + iy⟩：  
     ⟨A(x + iy), x + iy⟩ = ⟨Ax + iAy, x + iy⟩ = ⟨Ax, x⟩ + i⟨Ax, y⟩ - i⟨Ay, x⟩ + ⟨Ay, y⟩。
   - 展开 ⟨A(x - iy), x - iy⟩：  
     ⟨A(x - iy), x - iy⟩ = ⟨Ax - iAy, x - iy⟩ = ⟨Ax, x⟩ - i⟨Ax, y⟩ + i⟨Ay, x⟩ + ⟨Ay, y⟩。

2. 然后计算 ⟨A(x + y), x + y⟩ - ⟨A(x - y), x - y⟩ - i⟨A(x + iy), x + iy⟩ + i⟨A(x -