85、精确构造维度的对应原理与低阶布尔子代数研究

精确构造维度的对应原理与低阶布尔子代数研究

精确构造维度相关研究

研究背景与复杂度函数下界

在经典维度的研究中，对应原理可针对任意（实数）值表述。但对于规范函数，情况更为复杂。与经典情形中可计算（甚至有理数）在实数中稠密不同，若 $\alpha \in(0, 1)$ 不是可计算实数，在 $h_{\alpha}(t) = t^{\alpha}$ 和 $h_{\alpha}(t) = t^{\alpha} + \log_{r}\frac{1}{t}$ 之间不存在可计算函数。

从复杂度函数角度，有关于 $\omega$ - 语言的 Kolmogorov 复杂度的精细界研究。对于任意 $F \subseteq X^{\omega}$ 且满足 $F \not\subseteq S_{c,h’‘}[U]$ 的规范函数，有如下定理：
设 $F \subseteq X^{\omega}$，$h$ 为规范函数且 $H_{h}(F) > 0$，则对于每个满足 $H_{h}(F) > c \cdot U(e)$ 的 $c > 0$，存在 $\xi \in F$ 使得 $K_{A}(\xi[0..n]) \geq_{a.e.} -\log_{r}h(r^{-n}) - \log_{r} c$。

构造性维度

1. 零测度子集引理 ：若 $F \subseteq X^{\omega}$ 且 $h$ 为规范函数，则 $H_{h}(F) = 0$ 当且仅当存在语言 $V \subseteq X^{*}$ 使得 $F \subseteq V^{\delta}$ 且 $\sum_{v \in V