82、可计算性理论中的博弈论证与沙漠中的图灵模式

可计算性理论中的博弈论证与沙漠中的图灵模式

可计算性理论中的博弈策略

在可计算性理论的博弈场景中，存在一种特定的策略。当面对某些情况时，如果能找到一些顶点，其索引与(x_0)的更新索引一致，且这些顶点之间还未通过Bob的边相互连接，并且团（clique）中除(x_0)之外的其他顶点是自由的（即未包含在任何当前团中），那么就可以创建一个新的团。若无法满足这些条件，则不创建团，并将顶点(x_0)标记。

这种策略维持着以下不变关系：
1. 对于每个团，其所有顶点都具有相同的索引。
2. 对于每个团以及每对(i)，(j)（其中(i \neq j)），团顶点索引的((i \to j))分量等于从(x_i)到(X_j)的Bob边的数量，也等于从(X_i)到(x_j)的Bob边的数量（这里(x_i)和(x_j)是(X_i)和(X_j)中的团顶点）。特别地，索引的所有分量都小于(2n)，因为它们等于从(x_i)到(X_j)的出边数量。这是因为Bob在每一步只绘制一条边，且这条边与某个活动团的某条边平行。
3. 在每一步，只有有限个顶点具有非零索引，并且对于每个索引值，在所有部分(X_i)中具有该索引的顶点数量相同。
4. 所有部分中的自由顶点数量相同；在(X_0)中，自由顶点被标记；给定索引的自由顶点数量在所有部分中也相同。

为了完成证明，需要证明标记顶点数量的界限。为此，我们估计每个索引的标记顶点数量（可能的索引数量受(2^{nm(m + 1)})限制，因为其分量受(2n)限制）。其思路很简单：如果对于某个索引有许多（超过(2m2n)）自由顶点，那么对于(X_0)中具有该索引且失去旧团的每个顶点(x_0)，总能找到一个由这些自由顶点组成的团。具体来说，我