77、共形映射与单值化的计算能力探讨

共形映射与单值化的计算能力探讨

在数学领域，共形映射和单值化问题一直是研究的重点，它们在复分析、拓扑学等多个领域有着广泛的应用。本文将深入探讨共形映射和单值化的计算能力，以及膜系统在计算中的应用。

单连通和多连通区域的共形映射

首先，我们聚焦于单连通和多连通区域的共形映射。为了简化研究，我们主要考虑有界区域，对于无界区域的情况将在后续简要提及。

给定一个开的可计算函数 (f : T \to T’)，(T) 的递归可枚举开放性并不一定意味着 (T’) 也具有递归可枚举开放性。然而，对于全纯函数，这一性质可以很容易地得到证明。

我们定义了集合 (H[A, D_{\epsilon}])，它表示在区域 (A\subseteq\mathbb{C}) 上确定非常数全纯函数 (f) 且 (f(A) \subseteq D_{\epsilon}) 的形式幂级数的集合。这里我们假设 (A) 是包含 (0) 的区域。

接下来，我们有两个重要的引理：
- 引理 5 ：设 (\epsilon > 0) 且 (A) 是包含 (0) 的递归可枚举开集。那么对于所有 (f \in H[A, D_{\epsilon}])，定义 (h(f) = f(A)) 的族 (h :\subseteq FP \to 2^{\mathbb{C}}) 在 (H[A, D_{\epsilon}]) 中是递归可枚举开的。这个引理有助于我们排除那些不能成为黎曼映射的全纯函数，因为它们的像包含了不应该出现的点。
- 引理 6 ：设 (A) 是 (\mathbb{C}) 中的递归可枚举开区域，(\e