68、高温下瓷砖组装系统的行为研究

高温下瓷砖组装系统的行为研究

一、引言

在当今的计算和材料科学领域，瓷砖组装系统（TAS）的研究具有重要意义。抽象瓷砖组装模型（aTAM）由Winfree基于Wang平铺的动态版本引入，是一种“可编程晶体生长”的模型，具有丰富的算法理论背景和成果。

自1982年Seeman实验实现自组装瓷砖以来，DNA瓷砖组装的可靠性有了显著提升，2004年每块瓷砖10%的错误率在2009年已降至0.13%。在aTAM中，瓷砖的粘性末端被抽象为胶水标签，其强度由强度函数g分配。当相邻边胶水标签匹配且强度之和超过阈值τ（即温度）时，瓷砖才能稳定附着在瓷砖集合上。

这里的“温度”并非指实验环境的实际物理温度，而是一种隐喻，可被解释为区分不同能量水平的物理度量。aTAM假设胶水强度和温度为整数，瓷砖附着的稳定性由最多4个合作结合位点提供的强度相对于τ决定。这促使我们研究一类不等式，即左式最多包含4项（非负整数或常数），右式为τ的τ - 不等式。

优化（最小化）τ的过程是一种特定类型的整数规划，称为阈值规划（TP）。研究发现，即使在所有≥τ - 不等式最多包含4项，所有<τ - 不等式最多包含3项的条件下，TP也是NP - 难的。这意味着优化按输入方式运行的TAS的温度在多项式时间内无法完成，除非P = NP。

二、抽象瓷砖组装模型

1. 基本概念
   • 瓷砖类型 ：瓷砖类型t是一个单位正方形，每边有一个胶水标签（通常是来自标签集Λ的有限字符串）。我们按逆时针顺序从北面开始列出胶水标签来指定瓷砖类型。对于每个方向d ∈ {N,