41、多模态逻辑两种扩展定义的相对简洁性探究

多模态逻辑两种扩展定义的相对简洁性探究

1. 引言

在逻辑领域，随着逻辑种类的不断增多，一个重要问题随之而来：如何比较两种形式体系？常见的方法是比较它们的表达能力和计算属性，但还有一种近年来备受关注的比较方式，即表征简洁性，也就是探究一种逻辑是否能比另一种更“经济”地编码信息。

我们聚焦于多模态逻辑中的两种扩展：[∧Γ]ML 和 [∨Γ]ML。形如 [∧Γ]ϕ 的公式是多模态逻辑（ML）公式 $\bigwedge_{a\in\Gamma} [a]\phi$ 的缩写，[∨Γ]ϕ 则是 $\bigvee_{a\in\Gamma} [a]\phi$ 的缩写。熟悉认知逻辑的读者会发现，[∧Γ] 模态对应“每个人都知道”算子，[∨Γ] 对应“有人知道”算子。添加 [∧Γ]ϕ 到 ML 得到的 [∧Γ]ML 以及 [∨Γ]ML 都不会增加表达能力，且 [∧Γ]ML 的可满足性问题计算复杂度与 ML 相同。不过，已知 [∧Γ]ML 和 [∨Γ]ML 都比 ML 简洁指数倍。我们将证明 [∧Γ]ML 比 [∨Γ]ML 简洁指数倍，反之亦然，这进一步延续了相关研究工作，也表明 [∨Γ]ϕ 和 [∧Γ]ϕ 引入了两种不同类型的“信息”压缩。

2. 预备知识

2.1 多模态逻辑

• 多模态 [∨Γ][∧Γ]MLmₙ 逻辑 ：其签名是一个对 $S = {P, I }$，其中 $P = {p_0, p_1 \cdots p_n}$ 是有限命题符号集，$I = {a_1, \cdots, a_m}$ 是有限索引集。设 $PI$ 是 $I$ 的非空子集。[∨Γ][∧Γ]MLmₙ 的公式按以下规则构建：
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