28、数理逻辑与信息理论中的重要成果解析

数理逻辑与信息理论中的重要成果解析

1. 图灵级数与良序相关定理

在数理逻辑领域，有一个关于图灵级数及其良序的重要定理。设 $\zeta\in Lim$，并且 $\xi < \zeta$，使得当 $\xi’ \in[\xi, \zeta)$ 时，有 $\Omega_{\xi}(A) = \Omega_{\xi’}(A)$。那么，$\Omega_{\xi}(A) = e^{-\xi + \zeta}\Omega_{\zeta}(A) = e^{\ell_{\zeta}}\Omega_{\zeta}(A)$。

证明步骤

1. 由于对于 $\xi \leq \xi’ < \zeta$，$\Omega_{\xi’}(A)$ 的值不变，根据相关定理可知 $h_{\xi}(A) = h_{\zeta}(A)$。
2. 同样依据定理可得 $-\xi + \zeta = \omega^{\ell_{\zeta}}$，令 $\delta = -\xi + \zeta$。
3. 则 $\Omega_{\zeta}(A) = o_{\zeta}h_{\zeta}(A) = o_{\xi + (\xi \downarrow \zeta)}(h_{\zeta}(A)) = o_{\xi + \delta}(h_{\zeta}(A)) = o_{\xi}(\delta \downarrow h_{\zeta}(A))$。
4. 所以 $\Omega_{\xi}(A) = o_{\xi}(h_{\xi}(A))$，由 $h_{\xi}(A) = h_{\zeta}(A)$ 可得 $\Omega_{\xi}(A) = o_{\xi}(