17、关于马蒂亚斯泛型集的研究

关于马蒂亚斯泛型集的研究

1. 引言

力迫法自被克莱尼和波斯特引入可计算性理论以来，一直是该领域的核心技术。他们以现在所称的科恩力迫形式，展示了一个严格介于 0 和 0′ 之间的度。对科恩泛型集的算法性质及其度结构的研究，长期以来都是问题和成果的丰富来源。本文将对（可计算的）马蒂亚斯力迫的泛型集进行类似的研究，并呈现一些初步成果。

马蒂亚斯力迫最早可能由索尔在可计算性理论中用于构建一个没有严格更高度子集的无限集。随后，它成为为整数对的可计算着色构造无限齐次集的重要工具，也在算法随机性领域有应用。

本文将证明，科恩泛型的一些结果对马蒂亚斯泛型也成立，但也有很多不成立。主要区别在于，条件集和力迫关系都不可计算，因此许多常用技术无法直接应用。接下来将介绍相关背景和初步结果，分析力迫关系的复杂性，并探讨马蒂亚斯泛型集的度及其与科恩泛型度的关系。

2. 定义

• 可计算马蒂亚斯预条件 ：是一个对 (D, E)，其中 D 是有限集，E 是可计算集，且 max D < min E。
• 可计算马蒂亚斯条件 ：是一个预条件 (D, E)，且 E 是无限集。
• 预条件的扩展 ：预条件 (D∗, E∗) 扩展预条件 (D, E)，记为 (D∗, E∗) ≤ (D, E)，当且仅当 D ⊆ D∗ ⊆ D ∪ E 且 E∗ ⊆ E。
• 集合满足预条件 ：集合 A 满足预条件 (D, E)，当且仅当 D ⊆ A ⊆ D ∪ E。 </