16、算法与证明系统中的困难实例

算法与证明系统中的困难实例

在计算复杂性理论领域，算法和证明系统的性能评估是一个关键课题。本文将深入探讨算法的困难序列、证明系统的相关性质，以及在特定假设下问题的特殊性质。

1. 基本概念定义

• 元组函数 ：用 ⟨…,…⟩ 表示标准的对数空间可计算的元组函数，且其逆函数也是对数空间可计算的。
• 算法运行时间 ：若算法 A 接受字符串 x，tA(x) 表示 A 在 x 上接受运行的最少步数；若 A 不接受 x，则 tA(x) 未定义。L(A) 表示 A 接受的语言。默认算法为确定性算法，若算法 A 对输入 x 最终停机并输出值，记为 A(x)。

2. 算法的困难序列

• 几乎最优算法 ：对于问题 Q ⊆ Σ∗，若确定性（非确定性）算法 A 判定（接受）Q，且对于每个判定（接受）Q 的确定性（非确定性）算法 B，都有 tA(x) ≤ (tB(x) + |x|)O(1) 对所有 x ∈ Q 成立，则 A 是几乎最优的。
  • 每个 P（NP）中的问题都有几乎最优（非确定性）算法。存在 P 之外的问题有几乎最优算法，但尚不清楚 NP 之外是否有问题有几乎最优非确定性算法，以及有填充的 P 之外的问题是否有几乎最优算法。在特定假设下，这些问题有了部分答案。
• 困难序列定义 ：
  1. 对于判定（接受）Q 的确定性（非确定性）算法 A，序列 (xs)s∈N 对 A