一道有意思的Amazon的概率面试题

问题：

该问题包含两个子问题：

子问题1：给你一个骰子，你扔到几，机器将会给你相应的金钱。比如，你扔到6，机器会返回你6块钱，你扔到1，机器会返回你1块钱。请问，你愿意最多花多少钱玩一次？

子问题2：在子问题1里，你只能扔一次，现在呢，可以给你两次机会，但是你自己也可以选择只扔一次。但返回的钱以最后一次为准。比如，第一次你扔了6，你把第二次机会就放弃了，这样机器会返给你6块钱。但是，假设你第一次扔了3，你如果对这一次不满意，打算再扔一次，如果你第二次扔到了2，那么你最后只能得到2块钱，如果第二次扔到5，你最后会得到5块钱。请问，在这种条件下，你愿意最多花多少钱玩一次？

分析：

对于子问题1，非常简单，本质上是求数学期望。因为骰子每一面被扔到的概率是一样的，即 1/6. 所以，最后期望值是 1 * 1/6 + 2 * 1/6 + ... + 6 * 1/6 = 3.5. 也就是说，假设你玩无穷次，平均下来，机器会返回给你的钱是 3.5. 所以，如果你头脑清醒的话，你应该不会花超过3.5去玩一次。

对于子问题2，解答起来是有困难的。因为这题里面有一个选择的问题：你可以只扔一次，或者选择扔两次。所以不容易去获得每个值的概率（因为我们不知道到底扔不扔第二次）。但是，如果有了子问题1的答案，其实对于决定是否扔第二次还是有根据的，原因如下：

如果你第一次扔到了1，或者2，或者3，你一定会扔第二次。为什么（问题的关键）？因为我们在扔第二次的时候，它的期望收益是 3.5。同理，如果你第一次扔到了4,5,6，你不会选择扔第二次，因为你知道下一次的期望收益是 3.5，比你目前的收益会小。有了这样的分析，问题就可以迎刃而解了。

解答：

因为骰子总共6面。第一次扔到4, 5, 6 其中之一的概率是 1/2, 那么选择扔第二次的概率也是1/2。在第一次扔到4,5,6其中之一这个事件里，平均收益是4* 1/3 + 5 * 1/3 + 6* 1/3 = 5. 在第二次扔的时候，平均收益是 3.5(子问题1的答案)。所以最后总的收益是 5 * 1/2 + 3.5 * 1/2 = 4.25。 

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