数列基础

对于 k 阶常系数齐次线性递归数列

$$a_{n+k} = \sum_{i=1}^k p_ia_{n+k-i} \; (p_k \neq 0)$$
所对应的一元 k 次方程
$$x^k = \sum_{i=1}^kp_ix^{k-i}$$
称为数列${a_n}$的特征方程，其根称为特征根

1） 若 $\lambda_i$ 是特征方程的 k 个互不相等的根，则 $a_n = \sum_{i=1}^kc_i\lambda_i^n$
其中 $c_1,c_2\dots c_k$ 由方程组
$\begin{cases} \lambda_1c_1 + \lambda_2c_2 + \cdots + \lambda_kc_k = a_1 \\ \lambda_1^2c_1 + \lambda_2^2c_2 + \cdots + \lambda_k^2c_k = a_2 \\ \phantom{0000000000000} \vdots \\ \lambda_1^kc_1 + \lambda_2^kc_2 + \cdots + \lambda_k^kc_k = a_k \\ \end{cases}$
惟一确定

2）若 $\lambda_i$ 是特征方程的 m 个互不相等的根，其重数是 $k_i$，则$a_n = \sum_{i=1}^mp_i(n)\lambda_i^n$
其中 $p_i(n) = \sum_{j=1}^{k_i}C_{ij}n^{j-1}$
系数$C_{ij}$由下列方程组
$\begin{cases} p_1(1)\lambda_1 + p_2(1)\lambda_2 + \cdots + p_m(1)\lambda_m = a_1 \\ p_1(2)\lambda_1^2 + p_2(2)\lambda_2^2+ \cdots + p_m(2)\lambda_m^2 = a_2 \\ \phantom{0000000000000000000} \vdots \\ p_1(k)\lambda_1^k + p_2(k)\lambda_2^k + \cdots + p_m(k)\lambda_m^k = a_k \end{cases}$
惟一确定

k 阶常系数齐次线性递归数列是模周期数列

斐波那契数列的性质：
1）$F_n^2 - F_{n-1}F_{n+1} = (-1)^{n-1},F_{n+1}^2 - F_nF_{n+1} - F_n^2 = (-1) ^ n$
2）$(F_n,F_{n+1}) = 1$
3）$F_{m+n} = F_mF_{n+1} + F_{m-1}F_n$
4）$(F_m,F_n) = F_{(m,n)}$

不动点法

$$a_n = \frac {ax + b}{cx + d}$$
若方程$x = \frac {ax + b}{cx + d}$
-有两个不等实根p,q，则数列$\{\frac {a_n - p}{a_n - q}\}$是以$\frac {a_1 - p}{a_1 - q}$为首项的等比数列
-有两个相等实根p，则$\{\frac 1{a_n - p}\}$是以$\frac 1{a_1 - p}$为首项的等差数列
-若无实根，则为循环数列