16、坐标系统与高维数据可视化

坐标系统与高维数据可视化

1. 高维投影问题

在将高维空间投影到平面时，会出现比低维投影更严重的问题，主要包括碎片化（无法在平面上使相邻对象保持接近）和失真（难以保留线条、圆形、角度等）。这些问题限制了我们对高维数据在平面上的有效可视化。

2. 3D 坐标系统

2.1 3D 坐标系统概述

我们已经探讨了 2D、3D 及更高维对象，并通过平面来可视化这些对象，有时是直接可视化，有时则通过投影。一些高维坐标系统本身就很有趣，例如用于绘制地球的球面坐标。本节重点关注非矩形的 3D 坐标，包括球面、三角和圆柱坐标，这些坐标在涉及空间和非空间统计的应用中非常有用。

2.2 球面坐标

• 坐标转换公式 ：若 $(u, v, w)$ 表示点的球面坐标，对应的球面坐标函数 $S(u, v, w) \to (x, y, z)$ 满足以下关系：
  • $u = \rho$
  • $v = \theta$
  • $w = \varphi$
  • $x = \rho \sin\varphi \cos\theta$
  • $y = \rho \sin\varphi \sin\theta$
  • $z = \rho \cos\varphi$
• 应用场景 ：当 $\rho$ 为常数时，球面坐标可用于表示球面上的点；当 $\rho$ 变化时，可表示共原点的向量束。在球面上进